CI SONO COSE CHE VANNO SPIEGATE... (SUSCETTIBILI AL MORBILLO IN ITALIA) - I

(...poi anche se le spieghi alle volte non c'è proprio verso, in nessun modo)
Su twitter il genio di turno è arrivato a dirmi che il calo coperture pre 2015 è colpa dei populisti, e che quindi i (quasi) 7000 casi di morbillo da inizio 17 all'ultimo 28 giugno sono colpa dei populisti, e gli inglesi fanno bene ad avercela con i populisti perché è colpa loro.
E già così siamo sul surreale andante. Ma la cosa ha preso una piega grottesca quando si è arrivati a parlare di serbatoio di suscettibili al morbillo in Italia. Eppure a me sembrava un qualcosa di banale, terra terra. Ma non c'è stato verso, e May e Anderson si sono beccati dei "fuffari" per il tramite della mia indegna persona.
Comunque visto che le cose forse non sono così semplici, proviamo a dettagliare.
La teoria generale della dinamica delle malattie infettive prevenibili da vaccino prevede un set di equazioni differenziali, e una riguarda i suscettibili (Anderson, May, Nature 318(6044):323-9 · November 1985) :




dove a è l'età, t il tempo, M la popolazione infantile, v il tasso di vaccinazione, λ la velocità di propagazione dell'infezione, μ la mortalità. La vaccinazione viene ipotizzata con efficacia permanente e del 100%.
Possiamo riscrivere l'equazione così




Senza farsi spaventare, vediamo di spiegare questa equazione.
dM(a,t) è la variazione della popolazione infantile, ovvero fondamentalmente la natalità.
I contributi negativi sono costituiti dal tasso di vaccinazione v(a,t)X, dalla morbilità λ(a,t)X, dalla mortalità dei suscettibili μ(a)X.
Possiamo così semplificare l'equazione (n.b. ovviamente non è un'integrazione dell'equazione in senso stretto):




L'incremento di suscettibili ΔX in un periodo di tempo è uguale ai nati in quel periodo di tempo meno i suscettibili vaccinati in quel periodo di tempo, meno i suscettibili ammalatisi in quel periodo di tempo (ovvero i casi di quell'infezione registrati in quel periodo di tempo), meno i suscettibili deceduti in quel periodo di tempo. Il contributo alla popolazione dei suscettibili nell'anno i lo possiamo quindi scrivere, passando a dati rilevati in quell'anno



Dove vi sono le vaccinazioni per l'anno i e λi i casi di malattia per l'anno i. Notare che μ(a)X l'ho lasciato sotto forma di funzione, perché nessuno registra le morti totali di suscettibili alla malattia y, al massimo quelli che per tale malattia sono deceduti. μ(a) è senz'altro ricavabile, ma X, popolazione totale dei suscettibili, resta ignota.
Ma per determinate finestre temporali una stima sensata di μ(a)X è fattibile. Per esempio, nel caso del morbillo, in un periodo a circolazione dell'infezione abbastanza alta preceduto da un lungo periodo a circolazione altissima, e con un programma di immunizzazione che prima decolla lentamente e poi viene sospeso, con mortalità infantile bassa (anni 80, per essere chiari), in prima battuta per una stima approssimata possiamo considerare μ(a)X sufficientemente piccola da poter essere trascurata (ovvero ritenere che i decessi siano costituiti quasi esclusivamente da soggetti immuni)
Al che per gli anni 80 l'accumulo di suscettibili al morbillo può essere scritto così:



che tradotto vuol dire: accumulo di suscettibili nel decennio uguale a nascite meno vaccinazioni meno casi di morbillo. E ripeto, per le cervici più coriacee, che il conto vale nell'ipotesi di vaccinazione di efficacia permanente e del 100% e mortalità dei suscettibili trascurabile.