IL CALO DELLA MORBILITA' PER IL MORBILLO IN ITALIA PRIMA DELL'INTRODUZIONE DEL VACCINO (YES, SIR!)

Quante volte qualcuno ha postato uno di quei grafici della morbilità del morbillo in Italia dicendo "Ecco, vedete, c'era un drastico calo dei casi già da prima che introducessero il vaccino, perché e l'alimentazione e l'igiene etc". Di solito i grafici sono "interpolati" con una bella retta a pendenza negativa che incrocia lo 0 delle ordinate, qualcuno pensando di essere molto più furbo e raffinato ha usato esponenziali negativi e simili. Tutta roba inguardabile.
"Come inguardabile? E' del tutto evidente!" Dirà qualcuno.
Evidente un piffero. Se una retta fosse un buon modo per interpolare la morbilità saremmo oggi a valori di contagio negativi. Se fosse interpolabile con un esponenziale negativo non avremmo alle spalle un non impressionante outbreak da quasi 5000 casi (same as the old outbreak, 2011). Ma soprattutto un esponenziale negativo non dà conto della natura oscillatoria del fenomeno, e questo è grave. "Ma la matematica non è importante!", protesterà qualcuno. E invece per QUESTO lo è, rassegnatevi.
Cosa diavolo è un modello SIR? E' un modello di dinamica delle popolazioni inerente le malattie infettive, che si basa sui rapporti tra Susceptibles, Infectives, Recovered (S-I-R , appunto).
Il modello Kermack-McKendrick era roba vecchia (1927), rimasta dimenticata per decenni finché non fu rispolverato da ... Anderson e May ("Population biology of Infectious Diseases: Part I", Nature, 280 391-367 1979).
E' un modello SIR semplificato, il più semplice di tutti e viene bene per spiegare la dinamica di base delle malattie infettive.

dove S numero dei suscettibili, I numero degli infetti, R il numero di chi è guarito dall'infezione, t tempo, β la velocità di infezione, γ la velocità di guarigione. In realtà Kermack e McKendrick avevano proposto un modello più complesso e questa è la sua riduzione che prevede β e γ costanti per tutte le età (è una semplificazione, l'ho detto, inutile farlo notare nuovamente nei commenti).
Conciso e semplificato all'osso, eppure resta un sistema di equazioni differenziali non lineari, pure con questa semplificazione.
Notare che questo modello non prevede dinamiche demografiche. Ma è quello che racchiude alcuni contenuti fondamentali del fenomeno. E' facile ricavare quali sono le condizioni per cui si ha l'inizio dell'outbreak, il suo culmine e l'inizio del suo esaurimento, no?
Uhm, forse non per tutti.
Prendiamo la seconda equazione.
dI/dt è la velocità di aumento del numero di infetti. Noterete che di base è proporzionale a I ed a S, numero dei suscettibili (tutti i suscettibili), a sua volta funzione del tempo, come si vede dalla prima equazione.
Quando dI/dt è positivo il numero degli infetti sta crescendo (fase ascendente dell'outbreak), quando è negativo sta diminuendo (fase di esaurimento dell'outbreak). Quando è uguale a 0 l'outbreak è al suo massimo, la velocità di comparsa degli infetti βSI equivale alla loro velocità di scomparsa γI (scusate i termini da cinetica chimica, ma davvero è quasi la stessa cosa).
Quindi per dI/dt=0 , βS/γ=1. Valore interessante, molto, che va a definire la soglia epidemica R°=βS/γ (R°non ha niente a che fare con R, Recovered, è una di quelle ambiguità simboliche che una volta usate restano lì dove sono).
Quando R°>1 siamo nella fase crescente, ogni infetto trasmette la malattia a più di un soggetto, quando R°<1 siamo nella fase di esaurimento dell'outbreak, quando ogni infetto trasmette la malattia a meno di un soggetto. Sì, somiglia molto al basic reproduction number, perché è proprio lui, quello con cui viene calcolata la herd immunity (ovviamente questa formula è valida per questo specifico modello, e non per altri).
Detto questo, la prossima volta che un crociato dell'obbligo vaccinale sventaglia in faccia al prossimo l'immunità di gregge, non ditegli "è solo un modello", o "non esiste" o altro. Chiedetegli cosa pensa dei modelli SIR, e poi da dove viene fuori l'herd immunity. Sarà divertente.
Quello che trovate nel link è un modello Kermack-McKendrick modificato con l'inclusione della natalità (non fatevi ingannare dal fatto che in questa scrittura le denominazioni di alcuni termini cambiano, la natalità la vedete nella prima equazione come bS(t) ).
Le ipotesi in questo caso sono popolazione isolata, mortalità nulla, periodo di incubazione nullo, durata dell'infettività uguale alla durata della malattia.
Potete fin da ora giocherellare con i parametri del sistema di equazioni differenziali e vedere cosa succede, ma segnatevi i parametri che vedete quando aprite la pagina, ci tornerà utile tra poche righe.
Ora andiamo a vedere la natalità in Italia nel 1950: 908.622 nascite.
Poi andiamo a vedere la natalità in Italia nel 1985: 577.345 nascite
Tra 1950 e 1985 c'è un calo del 35% circa della natalità
Ora tornate sull'applicazione del link e guardate cosa succede con i parametri iniziali prima con birth rate 0,02 e poi 0,013 (ovvero diminuito del 35%).
Gli outbreak si distanziano nel tempo, il numero totale dei casi diminuisce.
Il modello è molto semplice e poco sofisticato, una brutale semplificazione poco generalizzabile a casi reali: l'Italia non presenta una popolazione distribuita in modo omogeneo con contatti tra individui uguali per tutti, etc etc.
Ma vi renderete conto che, di base, la riduzione della natalità può essere sufficiente per giustificare il calo dei casi per sistemi governati da dinamiche di questo genere.
Questa è all'incirca l'operazione che May e Anderson fecero nel 1982 (in "The Logic Of Vaccination", The New Scientist), solo che lì, in un riquadro, per spiegare la dinamica delle ondate epidemiche si invitava il lettore a fare i conti con una calcolatrice. A più di 30 anni di distanza forse avere a disposizione online una applicazione fatta con Mathematica può costituire un vantaggio (o forse no, dipende dal rapporto che chi legge ha con i numeri).
(Se provate ad aumentare progressivamente i vari valori noterete che il comportamente del sistema esibisce variazioni estremamente significative - sarebbe a dire che le soluzioni divergono rapidamente: è il caos deterministico, signori, sistemi di equazioni differenziali non lineari, e chissà se qualcuno si ricorda l'attrattore del brussellatore - anche qua a naso c'è un attrattore, ma non abbiamo scoperto niente, cfr Herbert W. Hethcote, "The Mathematics of Infectious Diseases", SIAM Review, Vol. 42, No. 4. ,Dec 2000, pp. 599-653 , magari ci ritorneremo sopra).

http://library.wolfram.com/webMathematica/Biology/Epidemic.jsp

(Se provate ad aumentare progressivamente i vari valori noterete che il comportamente del sistema esibisce variazioni estremamente significative - sarebbe a dire che le soluzioni divergono rapidamente: è il caos deterministico, signori, sistemi di equazioni differenziali non lineari, e chissà se qualcuno si ricorda l'attrattore del brussellatore....)

http://library.wolfram.com/webMathematica/Biology/Epidemic.jsp