DINAMICHE, EQUAZIONI DIFFERENZIALI, LEBBASI TERRA TERRA

A questo punto dovreste aver orecchiato che quando si ha a che fare con sistemi dinamici vengono fuori equazioni differenziali (e che una malattia infettiva in una popolazione configura un sistema dinamico). Perché? E cos'è, in senso esteso, una dinamica? Una dinamica studia i movimenti di un sistema in relazione alle cause che li determinano. Movimento, avete presente? Qualcosa si sposta in uno spazio. Se lo spazio è una linea retta la posizione del qualcosa in movimento sulla retta cambia nel tempo. E non è detto a priori che lo faccia in modo uniforme.
Come rappresentiamo la sua velocità in un punto qualsiasi della retta? x sarà la posizione al tempo t. Posizione e tempo sono collegati, x è funzione di t, x(t). L'espressione che definisce x(t) sarà una legge del moto, la descrizione del movimento in funzione del tempo. Sappiamo che la velocità è spazio/tempo.
La velocità media in un intervallo [x°,x] sarà quindi (x-x°)/(t-t°). Possiamo scriverlo come Δx/Δt. Ma ci interessa avere la velocità in un punto, non la sua media in un intervallo. Beh, nessuno, tranne un matematico, ci può impedire di prendere un intervallo molto piccolo, talmente piccolo che praticamente è riducibile ad un punto.
Se x=x°+ε, per ε che diventa piccolo a piacere Δx tende a una cosa detta "il differenziale di x", dx (https://it.wikipedia.org/wiki/Differenziale_(matematica)).
La stessa cosa vale per t. Ci siete? Bene, in un punto x qualsiasi Δx/Δt diventa dx/dt, che, sorpresa, è la derivata di x(t), rispetto al tempo ovviamente, visto che tra l'altro non ci sono altre variabili coinvolte.
Ora x invece che un punto su una retta potrebbe essere qualsiasi cosa, la concentrazione di una specie chimica o il numero degli infetti in una popolazione. Ovvero invece che su una retta ci si muove in uno spazio del tutto astratto, lo spazio che contiene gli stati del sistema - lo spazio delle fasi, uno spazio a n dimensioni i cui assi corrispondono alle coordinate richieste alla definizione del sistema in esame. Se siete arrivati fin qua, complimenti, può darsi che siate arrivati almeno alla formulazione analitica della velocità senza esservi fatti quattro mesi di Analisi I (lo so che ho brutalizzato e malamente, un matematico direbbe che mancano una quantità di premesse perché a priori nessuno mi può assicurare che per ε piccolo a piacere x°+ε esista e quindi esista dx/dt, dato che x(t) può essere qualsiasi cosa e che perché il discorso abbia un senso dobbiamo specificare prima le proprietà dello spazio in cui ci stiamo muovendo e poi le proprietà della funzione che stiamo prendendo in esame).

Ritornando alla domanda iniziale, "cos'è una dinamica?", ora possiamo aggiungere alla risposta un corollario: se si tratta di una dinamica ci sono derivate rispetto al tempo, e vengono fuori equazioni con dentro derivate, cioè equazioni differenziali.
Dall'algebra e dalla geometria analitica delle superiori vi ricorderete che un'equazione di primo grado ha una soluzione, un'equazione di secondo grado ne ha due, etc. Che cosa sono le soluzioni di un'equazione differenziale,e quante sono?
Le soluzioni di un'equazione differenziale sono funzioni. Proviamo con un esempio semplice, che sia integrabile (esistono equazioni non integrabili) e che abbia una soluzione analitica (esistono equazioni che non ne hanno ma che possono essere risolte numericamente).
Prendiamo questa equazione facile facile:



posso moltiplicare entrambi i termini per xdt, ottenendo



e a questo punto posso integrare entrambi i lati,





il che dà





e moltiplicando entrambi i termini per 2




Ci siamo portati dietro c1 e c2 perché non abbiamo definito un'intevallo di integrazione.
Considerando l'intervallo tra t e t° (t° e x° valori noti che individuano il punto di partenza nel tempo di partenza: sono le condizioni iniziali) avremo



da cui



x° ²+t° ² è una costante ottenuta da valori noti (dato che x° e t° sono le condizioni iniziali fissate). Per comodità chiamiamola r ². Ed ecco le soluzioni dell'equazione:



ovvero



Ognuna delle due radici disegna un semicerchio, e l'insieme delle due costituisce una serie infinita di cerchi concentrici corrispondenti ad ogni possibile r ², dove r è il raggio del cerchio

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