LA TRAIETTORIA NON ESISTE - 1 - "IL SISTEMA SCEGLIE"

La distanza dall'equilibrio diventa un parametro essenziale nella descrizione della natura, analogamente alla temperatura nella termodinamica dell'equilibrio. Abbassando la temperatura, osserviamo una successione di transizioni di fase attraverso vari stati della materia. Ma nella fisica del non-equilibrio la varietà dei comportamenti è molto maggiore. Abbiamo considerato la chimica ai fini di questa discussione, ma processi analoghi associati alle strutture dissipative di non-equilibrio sono stati studiati in molti altri campi, tra cui l'idrodinamica, l'ottica e i cristalli liquidi.

Guardiamo ora più da vicino l'effetto critico delle fluttuazioni. Come abbiamo visto, le fluttuazioni vicino all'equilibrio sono innocue, ma lontano dall'equilibrio svolgono un ruolo centrale. Non solo abbiamo bisogno dell'irreversibilità, ma dobbiamo anche abbandonare la descrizione deterministica associata alla dinamica. Il sistema "sceglie" uno dei possibili rami disponibili quando si trova lontano dall'equilibrio. Ma nulla nelle equazioni macroscopiche giustifica la preferenza per una soluzione rispetto a un'altra. Ciò introduce un elemento probabilistico irriducibile. Una delle biforcazioni più semplici è la cosiddetta "biforcazione a forcone" (pitchfork bifurcation) rappresentata in Figura 2.4, dove λ = 0 corrisponde all'equilibrio.

Il ramo termodinamico è stabile da λ = 0 a λ = λ_c. Oltre λ_c diventa instabile, e emerge una coppia simmetrica di nuove soluzioni stabili. Sono le fluttuazioni a decidere quale ramo verrà selezionato. Se si sopprimessero le fluttuazioni, il sistema si manterrebbe in uno stato instabile.

(Ilya Prigogine, The End Of Certainty, 1997)

(Prigogine e il suo lavoro sono nel DNA di questo blog fin dal principio, qui e qui)

In precedenza abbiamo osservato il diagramma di biforcazione della mappa logistica. In quel caso i due bracci dopo una biforcazione rappresentano i valori estremi tra cui la popolazione oscilla. In questo caso la biforcazione ha un altro significato: il sistema si colloca su una o un'altra delle due traiettorie e si tratta di traiettorie stabili. Il processo ha una direzione, da sinistra a destra, è irreversibile, non è possibile stabilire a priori quale sarà la traiettoria "scelta" dal sistema.

Non si tratta di filosofia travestita da termodinamica. Dinamiche di questo genere riguardano una gran quantità di diversi fenomeni fisici. Quello preferito da Prigogine come esempio era la convezione di Bénard.

Prendete una padella. Riempitela di olio. Scaldate dal basso, lentamente, con una piastra elettrica. Per piccole differenze di temperatura tra il fondo e la superficie il calore si trasferisce per conduzione - molecola per molecola, senza struttura macroscopica visibile. Il sistema è in uno stato stazionario stabile. Se perturbate leggermente, il sistema torna da solo allo stato di partenza.
Aumentate la differenza di temperatura. A un certo valore critico - il numero di Rayleigh critico - avviene una transizione improvvisa: si formano celle convettive ordinate, visibili, geometricamente regolari. Il fluido caldo sale al centro di ogni cella, si raffredda alla superficie, scende ai bordi. Struttura che emerge spontaneamente dal caos termico.

La transizione improvvisa dalla conduzione alla convezione è un punto di biforcazione nello spazio delle fasi del sistema. La convezione nelle celle di Bénard ha ovviamente un verso e una singola cella potrà ruotare in senso orario o antiorario (quella adiacente ruoterà in senso opposto). Rispetto alla singola cella, i due rami del diagramma dopo il punto di biforcazione rappresentano i due stati alternativi (rotazione oraria o antioraria). Ci sono due differenti aspetti che riguardano l'irreversibilità di questo sistema.

In primo luogo quando inizia la convezione la viscosità del fluido si oppone al movimento. Parte dell'energia interna del fluido (fornita dalla fonte calda) viene usata per contrastare l'attrito dovuto alla viscosità. Il forte aumento della dissipazione viscosa corrisponde a un forte aumento nella produzione di entropia, che quindi è la condizione per l'ottenimento della struttura ordinata metastabile: si tratta di una struttura dissipativa - così Prigogine battezzò fenomeni in cui strutture ordinate vengono mantenute tramite produzione di entropia. 

In secondo luogo, se raffreddate il sistema per poi portarlo di nuovo oltre i punto di biforcazione sarà quasi impossibile ottenere lo stesso insieme di celle ognuna con il precedente verso di rotazione: il processo è irreversibile.

Il diagramma di biforcazione per la convezione di Bénard è dato dalla mappa quadratica:


 

Noterete la somiglianza con la mappa logistica e infatti il diagramma di biforcazione è piuttosto simile:

Cambia l'intervallo di valori di r per cui il grafico è significativo, rispetto alla mappa logistica. E cambiano altre cose (x₀). In particolare il grafico è stato ottenuto scegliendo un x₀ tale da escludere i valori di x con valore assoluto maggiore di 2 mantenendo l'algoritmo usato per la mappa logistica (vedremo in seguito che| x|=2 è una soglia di una certa importanza).
 

La mappa quadratica riguarda una varietà piuttosto ampia di casi.

 

Tutti casi in cui "il sistema sceglie" e la scelta non è inclusa né nella matematica che lo descrive né nelle sue condizioni iniziali: la sua traiettoria, a priori, non esiste.
Particolarmente rilevante la prima voce della tabella: la mappa quadratica costituisce la componente reale dell'insieme di Mandelbrot.

 

APPENDICE 

Il diagramma di biforcazione è stato ottenuto con Mathematica con lo stesso codice usato per la mappa logistica. Già visto con Mathematica, ritengo più utile questa volta includere il codice Python, che produce circa la stessa grafica - Mathematica gestisce la precisione numerica in modo nativo, trasparente, con aritmetica simbolica sottostante e controllo automatico degli errori di arrotondamento, mentre Python/numpy usa IEEE 754 standard, che è generalmente sufficiente ma non garantisce lo stesso livello di accuratezza numerica. Si potrebbe citare Star Wars (il primo, cioè il sesto): An elegant weapon, for a more civilized age. Mathematica è la spada laser, Python è il blaster (e il FORTRAN cosa da Knights Of The Old Republic - nella prossima puntata).

Comunque i punti salienti non stanno né nei linguaggi né nella sintassi, ma nella matematica.

Il punto di partenza (x₀) è stato preso per evitare successioni divergenti (e conseguente maximum overflow) e esponenziali negative troppo veloci (con minimum underflow).

Primi 10 elementi della successione per r=0 e x₀=-0,5

Se osservate l'andamento del modulo degli esponenti c'è un raddoppio a ogni passaggio. Per n=11 il valore sarebbe dell'ordine di 10^-600. Nello standard IEEE 754 (quello usato normalmente nei calcoli a 64 bit), il numero positivo più piccolo rappresentabile è circa 4.9x10-324, quindi oltre n=10 si genera un errore di minimum underflow - che Python/numpy si limita a trascurare passando oltre senza alcun messaggio. Partendo con x₀=0,2 si evitano sia min. underflow che max. overflow senza dover inserire un controllo per |x|>2.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

iterazioni = 1000
transiente = 200

r_values = np.arange(-2.0, 0.25, 0.001)

dati_r = []                                   
dati_x = []

for r in r_values:
    x = 0.2                             
    for i in range(1, iterazioni):
        x = r + x * x
            if i > transiente:
            dati_r.append(r)
            dati_x.append(x)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(dati_r, dati_x, ',k', markersize=0.1)
plt.xlabel('r')
plt.ylabel('x')
plt.tight_layout()
plt.show()

Il codice non ha bisogno di molti commenti: si inizializzano le liste di r e x, che vengono costruite con due cicli for nidificati. Il resto è sintassi di matplotlib.