PROBABILITA' E DENSITA'

C'è un abbondante discorrere (o riempirsi la bocca) con "probabilità" e "statistica", generalmente a sproposito (e molto).

Tutti, o perlomeno molti, hanno presente come è fatta una campana gaussiana. Però quando ne parlano è come se il valore di y corrispondesse alla probabilità per il corrispondente x: dimostrazione concisa del fatto che non sanno cosa stanno dicendo. La campana rappresenta una densità di probabilità, non una probabilità. Per avere la probabilità dovete integrarla, la funzione.

Questa cosa ha applicazioni e conseguenze. La prima applicazione è che l'integrale tra + e - ∞ di una gaussiana deve fare 1 - è la condizione di normalizzazione: la probabilità che si verifichi uno qualsiasi dei valori è 1.

E da queste parti un paio d'anni fa abbiamo rilevato che un corso di universitario di biostatistica aveva dispense in cui veniva spiegata la gaussiana... scrivendo una gaussiana non normalizzata.

La conseguenza più importante è che quando si parla di densità di probabilità la probabilità di un valore preciso è 0, e che esiste probabilità diversa da zero solo per intervalli [x, x'] per cui x ≠ x'.

Passiamo dalla gaussiana a una densità di probabilità tutta diversa, ovvero la funzione d'onda Ψ : descrive una densità di probabilità nello spazio e nel tempo per una particella (data da │Ψ│²

) . Nel caso degli elettroni in un atomo, una Ψ corrisponde ad un orbitale. E quindi quando vedete la rappresentazione grafica di un orbitale non state guardando una raffigurazione della probabilità di trovare l'elettrone nello spazio. State guardando una densità di probabilità. E dato che una Ψ corrisponde ad un preciso livello energetico dell'elettrone (se ricordate Ψ autofunzione e la corrispondente energia autovalore dell' hamiltoniano) , la probabilità di individuare il medesimo elettrone in uno specifico punto dello spazio (x,y,z) è 0 - non per nulla l'elettrone in un atomo è delocalizzato. Ed è delocalizzato anche nel legame covalente. Del resto se tiri fuori una combinazione lineare di funzioni d'onda otterrai una funzione d'onda il cui modulo del quadrato darà una densità di probabilità. Per esempio il legame π è descritto da una combinazione lineare di Ψ relative agli orbitali p degli atomi coinvolti.

Si parla di nuvola π, e specialmente in chimica organica, per dire che in quella regione di spazio (tipo sopra e sotto il piano di una molecola di benzene) gli elettroni del legame π sono delocalizzati, "diffusi" lungo il percorso del legame. E nelle reazioni chimiche si comportano esattamente come se così fosse (per esempio avete presente le LiSES, Lithium Solvated Electron Solutions? https://ilchimicoscettico.blogspot.com/2019/02/lelettrone-e-blu.html) . E tutto ciò è in accordo con quel che si ottiene tramite atomic force microscopy per una molecola aromatica (nella fattispecie di tratta di pentacene, un aromatico policiclico, https://science.sciencemag.org/content/325/5944/1110.figures-only)