LA SITUAZIONE - PHARMA, INDUSTRIA, LICENZIAMENTI

La situazione è grossomodo questa:

 

Cioè quella già vista nei tempi peggiori (attorno al patent cliff 2012, per dire). Ma sembrerebbe che il ritmo delle ristrutturazioni stia calando:

Secondo un'analisi dei dati sui licenziamenti di Fierce Biotech, nel primo trimestre di quest'anno un totale di 33 aziende biofarmaceutiche ha annunciato licenziamenti o chiusure. Pur rimanendo elevato, questo numero è indicativo di una tendenza graduale al rallentamento dei tagli occupazionali, individuata da Fierce già nel settembre scorso.

Questa traiettoria discendente si era già manifestata con un analogo numero di 33 ondate di licenziamenti nell'ultimo trimestre del 2025, circa la metà dei 64 e 62 annunci registrati rispettivamente nel secondo e terzo trimestre dell'anno scorso.
Il 2025 è stato certamente un anno difficile, come dimostra una distinta analisi di Fierce Pharma: le 17 aziende farmaceutiche con un fatturato annuo di almeno 20 miliardi di dollari hanno complessivamente ridotto la propria forza lavoro di oltre 22.000 dipendenti nel corso dell'anno, mentre si avvicina un patent cliff da 300 miliardi.
Per contestualizzare adeguatamente gli ultimi dati, è però opportuno confrontarli con i primi trimestri degli anni precedenti. I 33 annunci del primo trimestre 2026 sono appena la metà dei 63 del corrispondente periodo del 2025, e significativamente al di sotto delle 57 e 58 ondate registrate nei primi trimestri del 2023 e del 2024.
Per trovare un livello analogo bisogna risalire alle 30 ondate di licenziamenti del primo trimestre 2022.

Da principio si pensava che la crisi occupazionale riguardasse solo le small molecules, come di solito succede in queste fasi, anche se le small molecules continuano a costituire la maggioranza della approvazioni FDA:

https://www.nature.com/articles/d41573-026-00012-w

Per andare nel dettaglio, si parla di questo:

https://drughunter.com/articles/2025-novel-small-molecule-fda-drug-approvals

E invece no, non si trattava solo di small molecules. La crisi occupazionale si è allargata alla vasta area dei farmaci biologici, dagli ADC (coniugati farmaco-anticorpo) alle terapie cellulari. 

Come al solito il capitalismo finanziario fa le sue scelte e sono le scelte più sbagliate. Ma chi fa tali scelte, come sempre, sarà al riparo dalle loro conseguenze. Come in tanti altri campi la storia si ripete, con gli  stessi identici meccanismi.

Personalmente nei tanti anni di lavoro che ho all'attivo ho visto (poche) decisioni corporate razionali sempre sopravanzate dalle decisioni che una razionalità industriale non la avevano. Uno dei casi storici eclatanti fu quando Merck mise nella lista degli asset da essere svenduti Keytruda, prima che fosse approvato. Per tacere del management GSK che volle comprare Sirtris contro il parere di quelli che in GSK avevano effettuato la due diligence.

Ma del resto pensate a un tipico caso di media grande impresa occidentale non public, cioè non quotata in borsa. E' spesso proprietà di un fondo di investimento e quando le cose vanno bene il fondo incassa dividendi. Ma quando le cose vanno male, tipo quando il tuo mercato di sbocco di sempre è governato d'un tratto da un branco di inqualificabili? Scatta lo stop loss, solo che non si parla di azioni ma di asset industriali. Un asset industriale, se non lo sapete, è principalmente fatto di persone.

Io non so se e quando questo periodo di vacche non magre, ma ridotte a scheletri, potrà continuare. Quello che vedo è che la maggior parte degli attori econimici, al riguardo, sta agendo come se non ci sarà un domani, o una ripresa.

L'industria farmaceutica è una cosa assai differente da quella dipinta da tanti, tanti che non hanno alcuna cognizione dell'oggetto di cui parlano. Ormai da quasi 30 anni, cioè da quando è diventata uno dei giocattoli della finanza, è estremamente volatile. Eppure l'industria farmaceutica occidentale è quella che tra cGMP e linee guida ICH garantisce che i cittadini occidentali abbiano farmaci rispodenti a un certo standard qualitativo, un standard alto. I governi che rimangono spettatori dell'ennesimo tentativo di suicidio di questa industria avallano un peggioramento dei livelli qualitativi dei farmaci destinati ai propri cittadini, cioè lavorano contro la salute pubblica delle proprie nazioni. E in un contesto di questo genere tutti i discorsi europei sulla ricostruzione di un'autonomia farmaceutica appaiono esattamente quello che sono: parole vuote.

ORBITE DIVERGENTI - SANCHEZ ALL'OMS, SIMBOLI E SASSI

https://www.ilfattoquotidiano.it/2026/05/23/sanchez-oms-pandemia-egoismo-notizie/8395578/

 

C'è da dire che  l'orbita (in senso matematico) di Sanchez è da un po' che ha passato l'orizzonte di Lyapunov su tutti i temi cari al discorso dell'occidente moderno e in particolare dell'Europa (l'orizzonte di Lyapunov è il lasso di tempo oltre il quale la traittoria di un sistema nel suo spazio delle fasi diventa significativamente divergente rispetto a quella iniziale).

In un’epoca di emergenze ecologiche, geopolitiche e di crisi energetiche e crollo dei presidi sanitari pubblici, Oxfam denuncia che nel 2025 la ricchezza dei miliardari è cresciuta del 16% in termini reali, a un ritmo triplo rispetto alla media degli ultimi cinque anni. Si tratta di una concentrazione mai registrata prima. Tanto che ora una stretta cerchia di individui controlla un patrimonio maggiore di quello posseduto dalla metà povera della popolazione mondiale. E parliamo di povertà vera: il 25% delle persone a livello mondiale soffre di insicurezza alimentare e quasi la metà della popolazione globale vive in condizioni che possiamo solo definire “misere”. Non si tratta però solo di denunciare questa deriva sociale, perché tutto questo si traduce anche in una questione sanitaria. Sappiamo da tempo che la povertà e le disuguaglianze economiche e sociali si traducono direttamente in un aumentato rischio di malattie, minore accesso alle cure e maggiore mortalità.

Non resta che cogliere le parole del presidente del governo spagnolo come un’occasione per ripensare radicalmente le nostre priorità e sostenere un programma culturale e politico all’altezza del presente: lotta alle diseguaglianze sociali, rilancio poderoso della sanità pubblica e della medicina territoriale, no al riarmo e allo spreco di risorse economiche da utilizzare per il bene comune. Da qui, e da posizioni chiaramente pacifiste e di rispetto del diritto internazionale, dovrebbe ripartire un progetto collettivo che superi le complicità con il neoliberalismo di cui si sono macchiate anche le sinistre riformiste da più di trent’anni a questa parte.

Ma ci sono alcuni punti puramente materialistici da sottolineare. OMS dipende ormai per la maggior parte dal finanziamento di privati, quindi se la sede dell'intervento di Sanchez è formalmente appropriata (OMS è pur sempre un'agenzia ONU), there is more than meets the eye. Inoltre, come tutti quelli in sedi internazionali del genere, questi interventi sono più performativi che effettivi, e la performance è intesa prevalentemente per il pubblico domestico.

Da ultimo ci sono le implicazioni di quanto riportato da Oxfam: il 16% in più di ricchezza a miliardari non è un dato neutro e se qualcuno pensava che lo fosse credo che l'operato di Musk e Thiel sia più che sufficiente a smentirlo. Più 16% di ricchezza in quelle mani significa più potere a chi ha il manganello dalla parte del manico. Mai come in questo tempo è stato evidente, in occidente, che pochi decisori mantengono i propri vantaggi e quelli dei propri alleati lucrando sul male dei tanti. E' il leit motiv delle scelte geopolitiche occidentali degli ultimi anni: perseguire obiettivi che ben difficilmente possono essere quelli effettivamente dichiarati creando o alimentando disastri pagati poi da coloro che in teoria dovrebbero rappresentare.

Sono abbastanza sicuro che l'intervento di Sanchez nell'immediato cadrà nel nulla, tranne che in Spagna. Performativo o no, al discorso rimane una forte carica simbolica. Ma nel sistema mediatico occidentale è l'esposizione che da forza al simbolo. E neanche a farlo apposta, in Italia la notizia ha avuto copertura quasi nulla. 

Si potrebbe aggiungere che il sasso gettato sasso vale sempre: non per le onde che crea, ma per la testimonianza che offre. E chissà, forse prima o poi l'accumularsi dei sassi scagliati raggiungerà una massa critica. Ma..

...ma questa invece è stata ripresa ampiamente ripresa dalla stampa italiana e la mancanza di tempestive dichiarazioni ufficiali di Sanchez, nel gioco della propaganda, è una mossa perdente.

https://www.ilfattoquotidiano.it/2026/05/24/flotilla-scontri-bilbao-arresti-errori-notizie/8397165/

Questo falsifica la mia osservazione iniziale sulle orbite divergenti? Non direi. Se si parla di attualità depurare il segnale dal rumore è un esercizio oneroso. Per fare un esempio, su certe agende occidentali per ora non si vedono cambiamenti nella traiettoria divergente del governo spagnolo:

https://it.euronews.com/2026/03/16/la-spagna-manterra-la-spesa-per-la-difesa-al-2-del-pil-nel-2026-nonostante-richiesta-maggi

 

FEEDBACK, CAOS (NON RELOADED MA 2.0) - 4

https://drive.google.com/file/d/1_0_f8fKffhRWIlQas90j9XT_cU6PhNZr/view?usp=sharing

Una cosa è certa. I sistemi biologici, dalle comunità alle popolazioni fino ai processi fisiologici, sono governati da meccanismi non lineari. Questo significa che ci aspettiamo di vedere il caos con la stessa frequenza con cui vediamo cicli o stabilità. Il messaggio che ho sostenuto più di dieci anni fa è ancora più vero oggi: non solo nella ricerca biologica, ma anche nel mondo quotidiano della politica e dell'economia, tutti staremmo meglio se più persone si rendessero conto che i sistemi non lineari semplici non possiedono necessariamente proprietà dinamiche semplici.

A tredici anni di distanza dall'articolo su Nature in cui trattava le proprietà della mappa logistica, Robert May si sentiva in dovere di ripetere quell'appello, rimasto evidentemente inascoltato (ne ho già parlato qui).

Con l'ultima puntata si lasciano da parte chimica, ed equazioni per parlare di senso e in particolare di caos nell'attuale discorso pubblico scientifico/sulla scienza. La considerazione è semplice e veloce: la maggioranza dei processi che ci riguardano e che ci circondano sono determinati dalla nonlinearità, ma le dinamiche complesse caratteristiche dei sistemi non lineari anche semplici sono semplicemente inesistenti nella mappe disegnate dal discorso pubblico. 

Se la meccanica quantistica su quelle mappe rimane, in larga parte disorta, deformata all'inverosimile per renderla pop, il caos deterministico è invece assente da anni. Questi temi hanno avuto una visibilità mediatica crescente tra fine anni 70 e primi anni 90, culminando con il successo di Jurassic Park, il film. Per quanto centrato sulla prima rappresentazione realistica dei dinosauri, e niente del genere era stato mai visto prima, il tema dei sistemi non lineari complessi sopravviveva nella sceneggiatura. Nel romanzo di Crichton il rilievo dato al tema era ben diverso, con l'opera concepita come lo sviluppo di un frattale, ogni parte una iterazione.

Nel nuovo millennio questi temi invece sono rimasti oddities, con riemersioni effimere quando Netflix ha fatto uscire la serie "Il problema dei tre corpi". L'appello di Robert May sui sistemi a dinamiche non lineari è rimasto inascoltato anche quando il grande evento pandemico del nuovo millennio, COVID-19, avrebbe dovuto chiamarlo in causa a gran voce: i modelli epidemiologici compartimentali sono sistemi governati da feedback. E invece niente, si linearizzò quel che non poteva essere linearizzato ed "esponenziale" perse il suo significato matematico per diventare uno stato d'animo, un segno senza alcun referente nella realtà. Perché?

Perché quando si sostituisce il lavoro della matematica applicata con black boxes se ne perde il senso, diventa una cosa da specialisti che producono numeri, numeri che diventano i "dati" del discorso pubblico, per esempio. 

Perché "non possiamo sapere" è diverso e più radicale di "non so", ed entrambe le affermazioni sono incompatibili con la scienza-segno, ovvero il suo simulacro mediatico.

Perché nell'ultimo mezzo secolo la comunicazione della scienza è diventata incompatibile con questi temi. 

Perché la maggior parte degli esseri umani non ha idea del senso di un'equazione ma ha un forte bisogno di terra sotto ai piedi, di un pavimento ontologico che nella maggior parte dei casi è fatto di andamenti monotoni e traiettorie prestabilite: causa produce effetto, l'effetto è proporzionale alla causa, le cose vanno in una direzione precisa. Un sistema non lineare viola simultaneamente tutte e tre le assunzioni di quel pavimento. È molto più facile ignorare la reale natura delle dinamiche non lineari dichiarando incompetenza che fare i conti con le aporie della propria Weltanschauung.

Chi scrive parla per esperienza diretta del fenomeno. Caos e latinorum  documentava cosa succedeva nel 2019. Da una parte il latinorum caotico, dall'altra oves boves et pecora omnia, con i gonfaloni della Scienza, che arrivarono a sostenere che le teorie del caos fossero un marker antivaccinista. La dematematizzazione, come si notava allora, regnava sovrana negli opposti fronti, rivendicanti ognuno una propria scientificità. L'estrema miseria dei petit récits del nuovo millennio.

And I Tiresias, I have presuffered all... Se sulla stessa scala o in scala minore le cose si ripeteranno, la stessa narrativa sarà riciclata con le stesse linearizzazioni e le stesse amenità promosse da quella scienza-segno che dal dominio mediatico ha finito per colonizzare le istituzioni, nonché dai suoi ossessivi avversari. Il tutto con l'aggravante della simulazione della competenza, che gli LLM hanno reso facilmente accessibile a qualsiasi imbecille.
Se l'appello di Robert May è rimasto inascoltato per più di mezzo secolo un motivo c'è.

FEEDBACK, CAOS (NON RELOADED; MA 2.0) - 3

Nel 1972  Philip Warren Anderson, Nobel per la fisica 1977, pubblicò su Science un articolo che ebbe una vasta risonanza (e continua ad averla). Si intitolava More is different.

https://www.science.org/doi/10.1126/science.177.4047.393

 

Nell'articolo Anderson cristallizzava il concetto di proprietà emergenti, sostenendo che:

Nuovi livelli di complessità⇒nuove leggi emergenti

Anderson notava che conoscere le leggi fondamentali della fisica non basta per dedurre il comportamento dei sistemi complessi ed a ogni livello di complessità emergono proprietà nuove.
Criticava il riduzionismo forte, sostenendo che la biologia non è "solo chimica applicata", la chimica non è "solo fisica applicata" ed ogni disciplina sviluppa principi autonomi. Quindi "il tutto è più della somma delle parti".

Era in fin dei conti un riprendere Aristotele: τὸ ὅλον πλέον τί ἐστιν ἢ τὰ μόρια ("Il tutto è più delle sue parti", Metafisica).

Cosa c'entra tutto questo con feedback e caos? Proviamo a percorrere gli esempi finora citati: reazioni chimiche oscillanti, convezione atmosferica, dinamica delle popolazioni (a cui è da aggiungere la dinamica delle malattie infettive nelle popolazioni stesse) - tutti sistemi complessi. Nella sua estrema semplicità la mappa logistica esibisce biforcazioni e comportamento caotico per numeri relativamente grandi di individui, per fare un esempio (se ricordate prima di 200 interazioni nel calcolo non succede niente di rilevante). 
Facciamo un altro esempio. Uno dei problemi più classici del caos deterministico è il problema dei tre corpi. Che riguarda per l'appunto tre corpi e non due. Con Newton e Keplero un sistema di due corpi con i loro campi gravitazionali è fisso nel tempo, stabile, immutabile e ha una soluzione analitica. Solo quando subentra un terzo corpo saltano sia la stabilità che la soluzione analitica (con il quarto corpo e i successivi le cose diventano ancora più complicate). 
La stessa cosa succede con l'infinitamente piccolo, in situazioni al limite, per esempio con l'atomo di idrogeno di Rydberg, cioè un atomo di idrogeno che ha l'elettrone con un numero quantico principale incredibilmente alto, fino a 1000. Una situazione limite, in cui l'energia dell'elettrone è a un soffio da quella di ionizzazione (cioè, per la materia in bulk, dallo stato di plasma di idrogeno):  0.0000136 eV. E' come se l'elettrone fosse in bilico su un precipizio quantistico. Questo può succedere nelle nuvole di gas interstellare, in natura, sulla superficie terrestre solo in esperimenti di laboratorio. Ma l'alto numero quantico principale non basta, la condizione vicinissima al limite non è sufficiente. Solo se aggiungete un campo magnetico molto intenso le linee spettrali hanno un comportamento caotico. E' un altro problema a 3, nucleo, elettrone, forte campo magnetico.

Ma se la soglia per avere un comportamento caotico è bassa, la rilevanza di quel tipo comportamento a quel livello di complessità è rara e non solo. Per esempio le orbite dei pianeti del sistema solare le possiamo considerare piuttosto stabili nell'orizzonte temporale dell'umanità. Ma con la chimica, per esempio le cose possono andare diversamente.
Ho citato alcune reazioni oscillanti all'inizio di questa serie, ma una reazione chimica richiede una popolazione numerosa di molecole (e questo può rientrare nel discorso di Anderson). La termodinamica  classica (ΔG°, entropia) richiede materia in bulk, cioè grandissimi insiemi di unità discrete - con due molecole di H₂ e Cl₂ in un litro la domanda "la reazione è spontanea?" è operativamente mal posta. Anche se formalmente la temperatura delle due molecole (la loro energia cinetica) fosse tale da implicare come termodinamicamente favorita la formazione di due molecole di HCl, la probabilità di uno scontro con conseguente reazione sarebbe così bassa da rendere la velocità di tale reazione di fatto 0. E nel caso di una chimica di questo genere non si parla affatto di dinamiche non lineari complesse. Ma la possibilità di una reazione oscillante richiede la possibilità generica di una reazione, quindi la complessità e i grandi numeri di unità ne costituiscono la premessa.

Il caos come fenomeno emergente è una tesi che attraversa gli ultimi 50 anni, ma è stato trattato principalmente in campo matematico - algebra booleana (modello di Kauffman, 1969) e teoria dei giochi (John Holland, Emergence: From Chaos to Order 1998). Osservando tutte queste dinamiche i comportamenti nonlineari e caotici e i sistemi governati da feedback appaiono come una proprietà emergente di sistemi con un certo grado di complessità e di solito il grado è elevato. Forse per questo i tentativi teorici di Prigogine per introdurre non linearità e freccia del tempo per l'equazione di Schroedinger inerente una singola particella sono stati infruttiferi e non si sono dimostrati rilevanti per alcuna evidenza sperimentale a quel livello di (non)complessità: una unità isolata pare proprio che non basti per avere dinamiche non lineari complesse.

Ma i sistemi con un grado elevato di complessità e governati da feedback, dalla stessa vita fino a ritmo sonno-veglia (ritmi circadiani), battito cardiaco, pressione sistolica e diastolica, epidemie, meteo e clima sono quelli con cui abbiamo a che fare per la maggior parte della nostra esistenza...

 

FEEDBACK, CAOS (NON RELOADED MA 2.0) - 2

Tocca per forza di cose di parlare di Mitchell Feigenbaum. Nel 1978 il suo Quantitative universality for a class of nonlinear transformations fu pubblicato su Journal of Statistical Physics (vol. 19, n. 1, pp. 25–52 - luglio 1978. DOI: 10.1007/BF01020332).
Feigenbaum studiava una vasta classe di mappe unimodali del tipo


(Una mappa unimodale è una funzione definita su un intervallo chiuso, che presenta un solo massimo e i cui valori appartengono allo stesso intervallo chiuso su cui è definita).

Se vi ricordate la prima puntata, sono esattamente gli stessi oggetti di cui parlava Robert May nel suo articolo del 1976 su Nature. Ma Feigenbaum dimostrava che il fenomeno del period-doubling (biforcazioni a raddoppio di periodo) verso il caos è governato da costanti universali, indipendenti dai dettagli specifici della mappa (purché soddisfi certe condizioni di regolarità).

Feigenbaum evidenziava due costanti :

δ (delta di Feigenbaum) ≈ 4.669201... : rapporto di convergenza degli intervalli di parametro tra biforcazioni successive.

α (alpha di Feigenbaum) ≈ 2.502907... : fattore di scaling spaziale delle iterazioni.

 

Costanti di Feigenbaum (grafica realizzata con Gemini)

(Nota importante: abbiamo usato la notazione originale di Feigenbaum , dove l'autore usa λ quando Robert May usava r. Da questo punto in poi useremo r, perché come vedrete tra poco λ serve a definire altro)

Popolazioni, equazioni alle differenze finite. Ma abbiamo iniziato parlando di funzioni continue ed equazioni differenziali (in passato qualcuno obiettò che anche la materia è discreta, costituita da unità discrete - atomi, molecole - ma per fare un esempio, puoi contare gli individui di un branco, ma non le molecole in un metro cubo di aria). E Ilya Prigogine non si interessò a successioni e insiemi numerabili, ma a funzioni continue, e per il suo lavoro gli esponenti di Lyapunov erano cruciali.

Alexander M. Lyapunov entrò in questa storia nel 1892, con la sua tesi di dottorato, Общая задача об устойчивости движения (Il problema generale della stabilità del moto), pubblicata dalla Società Matematica di Kharkov. Fu pubblicato poi nel 1907 sugli Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématique come Problème général de la stabilité du mouvement .

Lyapunov parlava di movimento, quindi di traiettorie, introducendo elementi per quantificarne la stabilità (gli esponenti di Lyapunov, λ). λ può essere usato per valutare letteralmente la stabilità del moto di corpi (dei pianeti del sistema solare, per esempio) ma è applicabile anche alle traiettorie di un sistema nel suo spazio delle fasi, uno spazio geometrico in cui ogni punto descrive un possibile stato. Una traiettoria nello spazio delle fasi rappresenta il percorso del sistema nel suo cambiare stato. Il diagramma di biforcazione della mappa logistica e l'attrattore di Lorenz non sono grafici - sono strutture nello spazio delle fasi dei rispettivi sistemi.

Per un sistema dinamico, λ è definito dall'evoluzione della distanza tra due punti, δZ(t)  

e si ricava con 

 

Grafica ricavata con Gemini

λ ha importanti proprietà diagnostiche dell'evoluzione delle traiettorie: se λ<0 le traiettorie convergono (verso un ciclo limite, un attrattore), se λ>0 divergono. λ=0 è il punto di transizione tra le due situazioni. L'enorme versalità degli esponenti di Lyapunov è costituta dal fatto che δZ(t) è definita in modo tale che può essere sia una differenza finita che un differenziale. Possiamo calcolare λ in funzione del tempo per il sistema di equazioni differenziali di Lorenz, o possiamo calcolarlo per le differenze finite della mappa logistica. E in tal caso otteniamo questo:

Grafica ottenuta con Mathematica

Ogni volta che l'esponente di Lyapunov assume il valore di 0 abbiamo una biforcazione, quando r=3.5699 si passa da valori di λ sempre negativi a valori prevalentemente positivi: la transizione verso il caos. Come si può facilmente notare, tout se tiens.

APPENDICE

Il grafico dell'esponente di Lyapunov per il diagramma di biforcazione della mappa logistica è stato ottenuto mantenendo la struttura del precedente. In questo caso il tempo, rispetto alla definizione di  λ che abbiamo visto sopra, non è una variabile dello stato del sistema. Lo spazio delle fasi della mappa logistica è unidimensionale e il tempo viene sostituito con il numero di iterazioni n. Inoltre abbiamo a che fare con una successione e non con una funzione. Questa notazione permette di valutare la divergenza totale come la somma delle divergenze ad ogni singolo passaggio.

Ma se il nostro orizzonte per n non arriva a infinito, bensì a un generico n, allora operativamente dobbiamo lavorare con questa equazione:

che nel caso specifico diventa:

Il nostro contatore andrà da 1 a N=1000, come nell'esempio precedente, sempre escludendo i primi 200 termini (il transiente). Ci sono alcune cose da evidenziare. In primo luogo per semplicità il rapporto di incrementi |δZ(i+1)|/|δZ(i)| non è stato calcolato con le differenze finite, ma usando la derivata rispetto a x della funzione f(x)=rx(1-x), che è isomorfa a x_n+1=rx_n(1-x_n) (e contiene tutti i suoi punti). Si potrebbe evitare tutto questo e lavorare con le differenze finite, ma il codice sarebbe più complicato e, soprattutto, il risultato finale sarebbe assolutamente identico (provate, se pensate sia il caso).

iterazioni = 1000;

transiente = 200;

dati = Reap[
  Do[
    x = 0.5;
    somma = 0;
    Do[
      x = r*x*(1 - x);
      If[i > transiente, somma += Log[Abs[r*(1 - 2*x)]]],
      {i, 1, iterazioni} 
      ];
      Sow[{r, somma/(iterazioni - transiente)}],
      {r, 2.5, 4, 0.001} ] ][[2, 1]
    ]; 

ListLinePlot[dati,
             AxesLabel -> {"r", "λ"},
             PlotRange -> All, 
             PlotTheme -> "Scientific",
             GridLines -> {{3.56995}, {0}}
             ]

Per il resto per la lista prodotta da Reap/Sow i valori di |δZ(i+1)|/|δZ(i)| vengono calcolati per ogni punto della mappa, quindi continuiamo con i valori discreti, e i contatori funzionano esattamente come nell'esempio precedente. 

somma += Log[Abs[r*(1 - 2*x)]]: somma parte con valore 0 che viene incrementato di Log[Abs[r*(1 - 2*x)]], ad ogni singolo passo, valore calcolato per ogni coppia r, x - è esattamente la sommatoria descritta dall'equazione. Dopo di che la lista viene riempita con i valori di 1/n somma dove n è numero di punti effettivamente usati (quindi in questo caso escludendo i primi 200), ancora una volta replicando la sommatoria vista nell'ultima equazione.

Si usa ListLinePlot invece che ListPlot per avere i singoli punti collegati da linee (se notate il grafico è costituito da linee continue, ma abbiamo lavorato su un set di punti, non con una funzione continua). L'argomento GridLines piazza due rette nel grafico, una che evidenzia lo 0 di λ e l'altra che evidenzia il valore di r superato il quale ci si ritrova nella zona caotica.

FEEDBACK, CAOS (NON RELOADED MA 2.0) - 1

Nel 1981 su Scientific American apparve un articolo a titolo Strani attrattori: schemi matematici collegati tra ordine e caos. Era nella rimpianta rubrica Temi Metamagici, firmata da Douglas Hofstadter (avete presente? Goedel, Escher, Bach, 1979, I'm a Strange Loop, 2007):

Alcuni mesi fa, mentre passeggiavo con un amico per i corridoi del dipartimento di fisica dell'Università di Chicago, mi cadde l'occhio su un manifesto che annunciava un simposio internazionale dal titolo Strani attrattori. Non potei fare a meno di essere attratto da

questo strano termine e chiesi al mio amico di cosa si trattasse. Mi rispose che era un argomento di grande attualità e, dalla descrizione che me ne fece, mi apparve veramente incantevole e pieno di mistero. Riuscii a capire che l'idea di fondo stava nell'analisi di quelli che si potrebbero chiamare cicli di retroazione: situazioni in cui il risultato della computazione si può reintrodurre come un nuovo argomento, allo stesso modo in cui i suoni che escono da un altoparlante possono rientrare nel microfono per nuovamente uscire. Sembrava che dal più semplice di questi cicli potessero emergere sia strutture stabili sia strutture caotiche (se questa non è una contraddizione in termini!): la differenza stava solo nel valore di un unico parametro. L'ordine o non ordine del sistema ciclico dipendeva da piccolissime variazioni nel parametro e questa immagine dell'ordine che svanisce dolcemente nel caos, della struttura che si dissolve progressivamente nella casualità, mi sembrava piena di fascino.

Sembrava anche che fossero di recente venute alla luce delle inaspettate caratteristiche «universali» della transizione nel caos, caratteristiche che dipendevano unicamente dalla presenza del feedback e che erano virtualmente insensibili ad altri dettagli del sistema... Inoltre, non solo i teorici, ma anche gli sperimentatori operanti all'interno di queste discipline così diverse avevano compiuto simultaneamente osservazioni su fenomeni caotici che denotavano una struttura di fondo comune. Mi accorsi presto che la semplicità delle idee base conferisce loro un'eleganza che rivaleggia

con quella di alcuni tratti della matematica classica; c'è effettivamente, in alcuni aspetti di questo lavoro, un sapore di XVIII o XIX secolo che trovo particolarmente piacevole in quest'epoca di impressionante astrazione.

Se avete trovato poco chiara la definizione dell'autore, il feedback si verifica quando l'output di un sistema viene reindirizzato all'indietro come input del sistema stesso, creando un loop: il feedback è sia effetto che causa di sé stesso.

Un esempio? Una reazione autocatalitica. La più semplice di tutte può essere scritta come:

A+B→2B

Come vedete B è sia reagente (causa) che prodotto (effetto) della reazione. Questa natura del processo è inscritta nella sua equazione cinetica:



La velocità di formazione di B è funzione della concentrazione di B stesso. Le reazioni oscillanti di cui ho parlato qua sopra (Bray, Belousov Zhabotinsky, Briggs Rauscher) hanno tutte una componente autocatalitica. 

Storicamente Hofstadter scriveva quel pezzo per Scientific American circa cinque lustri dopo l'inizio della fondazione delle moderne teorie del caos. La nuova analisi di sistemi governati da feedback e dinamiche non lineari aveva un set di origini che andavano dalla matematica alla chimica passando per l'ecologia delle popolazioni e la meteorologia - ed era in larga parte strettamente collegata alla progressiva diffusione dei computer.

E' un processo formalmente iniziato con l'articolo di Edward N. Lorenz Deterministic Nonperiodic Flow, pubblicato su Journal of the Atmospheric Sciences, nel marzo 1963. Lorenz lavorava su un sistema di equazioni differenziali la cui natura dovrebbe essere ora perfettamente chiara:

Tre equazioni differenziali, e in ognuna di esse non lineare, con il feedback dentro. Si tratta di un modello semplificato di convezione atmosferica che presenta le classiche caratteristiche di un sistema caotico: è puramente deterministico, cioè non include termini stocastici; le soluzioni non sono periodiche; le soluzioni sono estremamente dipendenti dalle condizioni iniziali e traiettorie vicine divergono rapidamente; ci sono attrattori a cui le traiettorie tendono ad avvicinarsi.

Il grafico dell'attrattore di Lorenz negli anni divenne abbastanza celebre:

Grafico per σ=10 ,  ρ=28,  β=8/3

 

 

All'incirca in contemporanea Ilya Prigogine e collaboratori pubblicavano su The Journal of Chemical Physics due articoli, Symmetry Breaking Instabilities in Dissipative Systems. I (1967) e Symmetry Breaking Instabilities in Dissipative Systems. II (1968). In questo ultimo articolo compare per la prima volta il sistema di equazioni differenziali che diverrà noto come il Brussellatore.
Nel 1971 su Communications in Mathematical Physics esce un articolo di David Ruelle e Floris Takens a titolo On the Nature of Turbolence in cui per la prima volta viene definito uno strano attrattore: un attrattore che non è né un punto fisso, né un ciclo limite, né un toro, ma ha struttura frattale e comportamento caotico, esattamente come l'attrattore di Lorenz e come accade con il Brussellatore Forzato e la reazione di Belousov-Zhabotinsky (che ricordo fu elaborata per mimare il comportamento del ciclo di Krebs).

Nel giugno 1976 su Nature esce questo:

 

https://www.nature.com/articles/261459a0

 

La review di Robert May iniziava così:

Esistono molte situazioni, in molte discipline, che possono essere descritte, almeno come prima rozza approssimazione , da una semplice equazione alle differenze finite del primo ordine. Lo studio delle proprietà dinamiche di tali modelli consiste di solito nel trovare soluzioni di equilibrio costanti, e nel condurre poi un'analisi linearizzata per determinarne la stabilità rispetto a piccole perturbazioni: le caratteristiche dinamiche esplicitamente non lineari non vengono di solito prese in considerazione.
Studi recenti hanno tuttavia dimostrato che le equazioni alle differenze finite non lineari più semplici possono possedere uno spettro di comportamenti dinamici straordinariamente ricco, da punti stabili, passando da cascate di cicli stabili, fino a un regime in cui il comportamento - pur essendo completamente deterministico - è per molti aspetti "caotico", o indistinguibile dalla funzione di campionamento di un processo stocastico.

 

Un'equazione alle differenze finite è l'equivalente discreto di un'equazione differenziale. Invece di mettere in relazione una funzione con le sue derivate (che misurano il cambiamento continuo), mette in relazione i termini di una successione numerica tramite le loro differenze. May usò l'oggetto matematico più semplice che si possa immaginare: niente calcolo differenziale, niente derivate. 

 

Definì lo schema generale di questi oggetti così:

Dove F è il tasso di crescita di una popolazione isolata in un ambiente chiuso.

Facile vedere la corrispondenza con le equazioni differenziali viste fino ad ora: in questo caso il termine a t+1 è funzione del termine a t. l'autore finì con l'esaminare le proprietà molto complesse della semplicissima equazione della mappa logistica:

Il grafico di questa equazione è sorprendente:

Grafico ottenuto con Mathematica

Cosa ci dice il grafico? Che a seconda del tasso di crescita r, la popolazione può stabilizzarsi su un valore fisso, oscillare tra due o più valori (cicli stagionali) o variare in modo apparentemente casuale (caos).

Il grafico è generato con un contatore doppio, con r che va da 2,5 a 4 e, per ogni valore di r, 800 iterazioni registrate dopo aver scartato le prime 200.
Due note al riguardo: l'enumerazione potrebbe essere invertita, r potrebbe andare da 4 a 2,5 e il contatore andare all'indietro da 800 a 200. In teoria dovreste ottenere un flip da destra a sinistra del grafico e, letteralmente, order out of chaos. Ma il diavolo è nei dettagli e se la cosa vi interessa dovreste leggervi l'appendice. L'altra nota: non posso non citare Count Zero di William Gibson (Count Zero Interrupt si dice che venga da un libro di programmazione dello ZX Spectrum dei primi anni '80).

Il grafico è un caso pedagogico (e un diagramma di biforcazione). Per r < 3 il sistema converge a un punto fisso. Per 3 < r < 3.57 circa, oscilla - prima tra 2 valori, poi 4, poi 8, in una cascata di biforcazioni sempre più ravvicinate. A r ≈ 3.57 inizia il caos. La costante di Feigenbaum (1978) δ ≈ 4.669 descrive il rapporto tra gli intervalli di r in cui avviene ogni raddoppio, ed è universale. Questo è quello che aveva incantato Hofstadter. Un sapore di XVIII secolo, appunto.

 

Robert May concluse la sua review su Nature con parole che avrebbe pronunciato di nuovo tredici anni dopo e che continuano ad essere oro:

Non solo nella ricerca, ma anche nel mondo quotidiano della politica e dell'economia, tutti staremmo meglio se più persone si rendessero conto che i sistemi non lineari semplici non possiedono necessariamente proprietà dinamiche semplici. 

APPENDICE
 
Per ottenere il grafico ho usato Mathematica 13.2 con questo codice:

iterazioni = 1000;
transiente = 200;

dati = Reap[

           Do[

             x = 0.5;
              Do[

                x = r*x*(1 - x);
                If[i > transiente, Sow[{r, x}]], 

                {i, 1, iterazioni}

                ], 

                {r, 2.5, 4,0.001}

           ]

       ]

       [[2, 1]];

ListPlot[dati, PlotStyle -> PointSize[0.001], AxesLabel -> {"r", "x"}]


Il loop esterno scorre r da 2.5 a 4 con passo 0.001 - la scelta di partire da 2.5 non è arbitraria, sotto quel valore c'è solo un punto fisso stabile, non c'è niente di interessante da mostrare. Andare fino a 4 è il limite della mappa logistica (oltre, x diverge). Il loop interno itera la mappa xₙ₊₁ = rxₙ(1-xₙ) per 1000 passi su ciascun valore di r. I primi 200 passi (transiente) vengono scartati - è il tempo che serve al sistema per "dimenticare" la condizione iniziale x₀ = 0.5 e convergere sull'attrattore. 

Reap/Sow è un meccanismo Mathematica per raccogliere valori durante un'iterazione senza costruire liste esplicite, Sow genera un risultato, Reap lo inserisce in una lista. In questo caso la lista contiene il set dei punti del grafico.  Si sarebbe potuto usare AppendTo, che ricopia la lista a ogni passo, mentre Reap/Sow accumula senza ricopiare - ma con 1500 valori di r × 800 punti (1.2 milioni di punti), la differenza è sensibile. Oggi ricavare un milione e passa di punti, su un Thinkpad non proprio nuovo con Windows 10, richiede circa 20 secondi - mi è venuto da chiedermi quanti giorni avrebbe richiesto l'operazione nel 1990 con un 386SX+coprocessore matematico.

[[2, 1]] è sintassi di Mathematica applicata all'output di Reap, e restituisce sempre una lista di due elementi: 1 è il risultato del ciclo Do, che è null e non serve. 2 invece è la lista di punti (dati) che poi viene usata da ListPlot per generare il grafico.

Riguardo invece il contare in avanti o all'indietro Mathematica non fa differenze con la combinazione tra Reap/Sow e ListPlot. Il grafico è governato da ListPlot, quale che sia l'ordine dei valori nella lista (ottenuti da un contatore in avanti o all'indietro) il grafico verrà fuori allo stesso modo. Quindi l'unico modo di ottenere il grafico invertito è usare 

ListPlot[
    dati,
    PlotStyle -> PointSize[0.001],
    AxesLabel -> {"r", "x"},
    ScalingFunctions -> {"Reverse", None}
]

LA SCIENZA E LA VASCA DI MARMELLATA - PERCHE’ E’ UN GIOCO (FOTTUTAMENTE) MALATO - by Starbuck

 

Ieri pausa pranzo con il mio post-doc, che ha superato i 40 in abbondanza, è alla 4 emigrazione e ovviamente per cittadinanza non corrisponde alla nazionalità del posto dove lavora adesso. Premetto che questo ci crede duro nella scienza: mi ha corteggiato lungamente per essere il prescelto di questo "fighissimo" progetto ed ha addirittura mollato il contratto precedente per saltare su un altro tempo determinato, questo. Ieri alle chiacchiere del pranzo spiego più o meno la mia teoria, ovvero che il meraviglioso mondo della scienza è un grande circo, o un grande gioco, in cui si fa a sportellate violentemente. E a trionfare non è la scienza - o meglio quella teorica scienza che dovrebbe produrre avanzamento nelle conoscenze, delle condizioni di vita e quant’altro del genere umano - ma a trionfare sono "le mie idee", dove "mie" sono quelle del ricercatore di turno. Ed il ricercatore/scienziato di turno questa salda convinzione che le sue idee siano nuove, migliori e vincenti ce la deve avere, il tutto condito da una buona dose di voglia di farle vincere, attraverso un rituale fatto di battaglie, bibliometria e favori reciproci. Vinci il progetto, le keywords giuste, le lettere di supporto giuste. Io ti cito, tu mi citi. Io ti faccio da revisore generoso, tu ricambi il favore. Non ti soffio il PhD, ma tu ti scansi dai fondi del mio PostDoc. E così via, ad andare.

Badate bene: è un gioco , questo gioco, a cui i tendenzialemnte non ho mai giocato. Mi sono trincerata in un posto ben saldo anni fa, facendomi beatamente gli affari miei ed evitando la grande "vasca di Marmellata", dove a Marmellata, andrebbe sostituita altra sostanza organica, prodotto di scarto di colore marrone.

“E' solo un grande gioco: puoi giocare  Katan, Risiko o a chi è il più figo della micro nicchia. Lo gioco un po’ più seriamente da 5 anni vincendo tutto: progetti, fondi, risorse umane e non. H-index e pubblicazioni, invited talk e segretissimi meeting di esperti ad alto livello, che ci invitiamo sempre tra noi. Ma questa non è scienza: è un esercizio di narcisimo, a cui i migliori si applicano trafugando dati prodotti dagli studenti che non compaiono neanche nei ringraziamenti, perché loro sono i PI, ma includendo parenti (mogli&mariti) in articoli - and so far and so forth". 

Il PostDoc vacilla spiazzato, ma ammette che il gioco è questo, solo che lui in fondo ci crede ancora, si vede da quegli occhietti verdi che brillano quando varca la porta del laboratorio.

Neanche a farlo apposta, oggi colleziono una magica chicca. Ricevo un rigetto per un articolo con invito a risottomettere  a una so-called "rivista prestigiosa". Leggo i commenti di Editore, editore associato e reviewer e - surprise surpris e- la revisione del "reviewer 2" è di un altro articolo.

Vette altissime, il PostDoc stenta a crederci. Scrivo una pacata lettera, che suona più o meno così: "Caro Editore virgola grazie per il tuo gentile riscontro. Purtuttavia, la revisione del revisore 2 è relativa ad un altro articolo. Postresti cortesemente inviarmi la revisione corretta in modo che possa visionarne i commenti?" 

La risposta dell’Editore capo trasudava panico. Ora, non che il mio articolo meritasse la pubblicazione, ci mancherebbe. Fosse per me tutto quello che pubblico potrebbe rimanere serenamente nel mio PC, il mondo non sarebbe peggiore per questo. Però ci rendiamo conto che nessuno controlla neanche il minimo del minimo sindacale?

E quindi mio caro PostDoc, sì, la ricerca è una immensa vasca di Marmellata, e l’odore non è primaverile.