OUTBREAK, CRESCITA ESPONENZIALE ETC

La gente ha la memoria corta, oppure non ne ha proprio. Qualcuno si ricorda che tra le varie idiozie del 2017 giravano modelli dei casi di morbillo a crescita lineare e soprattutto a crescita esponenziale?

La cosa non aveva a che fare con la scarsa dimestichezza con i modelli dinamici delle malattie infettive. No, perché con l'influenza da anni quando si commentavano i dati si attendeva il picco epidemico, dopo il quale il numero di casi avrebbe cominciato a scendere. Ma per qualche motivo "l'emergenza morbillo" (che emergenza non era) nella testa di molti non si sarebbe conformata alla dinamica del fenomeno, non avrebbe raggiunto un massimo di casi per poi scendere: i casi avrebbero continuato a crescere nel tempo.

Questa cosa è favorita da un vezzo comune: la valutazione del tempo di raddoppiamento dei casi: i casi raddoppiano ogni x giorni.

E' esattamente quello che si dice oggi per COVID-19: i casi raddoppiano ogni due giorni, la progressione è esponenziale.

Questo perché si prende in esame un modello ad albero, come quello dell'immagine. E' esattamente il modello di cui si parla in questo articolo del corriere: https://www.corriere.it/cronache/20_febbraio_25/matematicadel-contagioche-ci-aiutaa-ragionarein-mezzo-caos-3ddfefc6-5810-11ea-a2d7-f1bec9902bd3.shtml

"Per visualizzarlo, basta immaginare che i contagiati siano delle biglie. Una biglia solitaria, il famigerato paziente zero, viene lanciata e ne colpisce altre due. Ognuna di queste ne colpisce altre due, che a loro volta ne colpiscono altre due a testa. Eccetera. È quella che viene chiamata una crescita esponenziale, ed è l’inizio di ogni epidemia. Nel primo periodo, sempre più persone vengono contagiate sempre più velocemente. Quanto velocemente, dipende dalla grandezza di R0 e da un’altra variabile fondamentale di questa matematica trasparente e decisiva: il tempo medio che intercorre tra quando una persona viene infettata e il momento in cui quella stessa persona ne infetta un’altra — una finestra temporale che, nel caso di Covid-19, è stimata a circa sette giorni."

Quella che viene descritta è una reazione a catena, e con R°=2 alla generazione n gli infetti I saranno:

I=2^(n+1)-1

Voilà: semplice semplice, esponenziale, infinitamente crescente. E sbagliata.

Perché? Qualitativamente dovrebbe apparirvi ovvio: il comportamento descritto è diverso da quello di un'ondata epidemica, che ha un andamento a campana: cresce piano, poi più velocemente, poi rallenta, raggiunge un massimo e decresce. La funzione esponenziale cresce e basta, rapidamente, senza fermarsi. Può essere usata per descrivere una limitata fase temporale, quella appunto in cui i casi raddoppiano ogni due giorni. Ma non è assolutamente in grado di dirti quanti saranno tra due, quattro o sei giorni. E' come stimare la posizione di un'auto in funzione della sua velocità ipotizzando che vada sempre a diritto, mentre in realtà potrebbe sterzare da un momento all'altro.

Se una funzione continua parte da zero, raggiunge un massimo e poi scende tra lo zero e il massimo ci sarà un punto, detto di flesso: è il punto in cui la crescita del valore inizia a diminuire (e la derivata seconda della funzione è zero). E un'esponenziale di flessi non ne ha.

Guardate il grafico dei casi in Lombardia: di flessi se ne osservano ben 2. Per ben due volte è sembrato che a livello regionale stessimo per raggiungere il massimo del picco. Questo succede perché la realtà di una regione in circostanze dei questo genere non è facilmente modellabile da una soluzione di un sistema di equazioni differenziali non lineari. Ma dalle soluzioni dei modelli compartimentali (di cui SIR è il più semplice), e sopratutto da anni di osservazioni di fenomeni analoghi, sappiamo che il picco epidemico arriverà. Forse tra due giorni, forse tra una settimana, forse tra due, ma arriverà.

PS: Giustamente un matematico mi fa notare delle imprecisioni: parlando della campana epidemica dovrei specificare che la funzione che la descrive è C2. Ma la curva epidemica non è un modello, è data dai casi registrati. Il termine flesso, applicato al fenomeno reale, è improprio, ma si riferisce comunque a un
punto in cui ΔI/Δt smette di crescere. Di sicuro prima di arrivare al picco epidemico si osserverà un numero dispari di punti del genere...