LA TRAIETTORIA NON ESISTE - 6 - CONCLUSIONE

Il titolo di questa serie è stato mutuato da una celebre sequenza di Matrix, "Il cucchiaio non esiste".

"Il cucchiaio non esiste" è una tesi idealista - la realtà è una costruzione, quindi l'oggetto non ha esistenza autonoma. "La traiettoria non esiste" è una tesi realista - il sistema è genuinamente aperto, non perché la realtà sia una costruzione ma perché è l'apertura è nella stessa dinamica del sistema. E chiaramente, dopo aver parlato di struttura e diagrammi di biforcazione, il titolo è provocatorio. Avrebbe dovuto essere "Per i sistemi a dinamiche non lineari complesse è impossibile stabilire la traiettoria a priori", che però come titolo suona piuttosto male. E questa stessa serie è stata un percorso, quindi una traiettoria.

Ma "traiettoria" nel linguaggio comune implica una certezza, implica la traiettoria a priori: l'oscillazione del pendolo, il tramontare e sorgere del sole. E' qualcosa che percorre nel profondo più di duemila anni di civilità occidentale. 
Entelechia: per Aristotele la quercia è già nella ghianda, una traiettoria predeterminata. E l'entelechia aristotelica sopravvive nei presenti linguaggi prevalenti, nelle varie declinazioni pop e non di quello che potremmo chiamare un neo-neopositivismo. Come lo potremmo definire?

Difficile darne una definizione completa e difficile mantenere in tale definizione distinte correnti filosofiche, conseguenze di storici dibattiti culturali, epistemiologia e prassi delle correnti discipline scientifiche e il simulacro mediatico che al tempo stesso condensa tutto questo e ne cancella le fonti primarie, diventando un oggetto autoreferenziale (al riguardo l'esempio più clamoroso è stata la comunicazione sulla pandemia COVID). Potremmo definire l'attuale neo-neopositivismo come Popper senza il pensiero di Popper e Russell senza il pensiero di Russel. Lo potremmo definire come il ritorno del Demone di Laplace, materializzatosi da punti di origine differenti con percorsi diversi. Laplace è il filo invisibile che attraversa tutto dall'inizio. Il demone che conosce posizioni e velocità di ogni particella e calcola l'intera traiettoria dell'universo è profondamente radicato nel modo in cui la scienza contemporanea, non solo nella versione "terzo ladro", ha costruito la propria identità (Isabelle Stengers, In catastrophic times. Resisting the coming barbarism - e ricordo che fu la coautrice assieme a Prigogine di Order Out Of Chaos). E questo anche se a posteriori il demone in questione è stato declinato al condizionale: se potessimo sapere posizioni e velocità di ogni particella... in ultima analisi tutta la modellistica predittiva ha il demone di Laplace come asintoto. Ma non solo...
La prevalenza del "biologico", ormai trentennale, ha di fatto trasformato il DNA da condizione iniziale a traiettoria a priori:

La visione più ampia del determinismo genetico - secondo cui i geni determinano il destino biologico - è presente ben prima che acquisissimo conoscenza di come i geni codificano le proteine. La visione più ristretta, quella secondo cui i geni determinano i fenotipi comportamentali umani, era invece strettamente associata al movimento eugenetico tra la fine del XIX e l'inizio del XX secolo. Oltre alle tristemente note azioni della Germania nazista, venne incoraggiata la sterilizzazione di persone considerate portatrici di "geni cattivi". Molti stati degli Stati Uniti avevano persino adottato leggi per ridurre le popolazioni ritenute "inadatte". È quindi paradossale constatare come un'idea analoga, ma assai più ampia, torni in gioco con l'avvento della genetica molecolare gene-centrica, e in particolare con il crescente entusiasmo per il Progetto Genoma Umano (Kevles e Hood, 1992). Alla fine degli anni Ottanta, per fare pressione sul Congresso americano affinché finanziasse il Progetto Genoma Umano, James Watson dichiarò: "Pensavamo che il nostro destino fosse scritto nelle stelle. Ora sappiamo che, in larga misura, il nostro destino è scritto nei geni" — frase che sintetizzava efficacemente la visione popolare del determinismo genetico.
Il nucleo del determinismo genetico è che i geni determinano il funzionamento di un organismo: se sapessimo abbastanza su cosa sono i geni e su come "agiscono", potremmo comprendere tutta la biologia (Keller, 1993); e il gene è un'unità indipendente di informazione genetica. Per quanto complesso possa essere un dato processo genetico, esso può essere scomposto nei geni che lo costituiscono come unità causali. 
Nonostante non esistano prove dirette solide a sostegno di questa posizione, il determinismo genetico è diventato straordinariamente diffuso nel campo della genetica molecolare. Secondo Keller, "è difficile vedere cosa possa essere controverso in simili affermazioni. L'attribuzione di agentività, autonomia e primato causale ai geni è diventata così familiare da sembrare ovvia, persino autoevidente" (Keller, 1993). (Henry H. Heng, Genome Chaos, 2019)

Intendiamoci, certe traiettorie sono perfettamente calcolabili e prevedibili: volo spaziale e installazione di satelliti in orbita attorno alla terra lo dimostrano. Ma l'orbita di un satellite non è l'andamento di un'epidemia, la Storia o la vita di un essere umano. Sono casi in cui l'entelechia aristotelica può essere intesa solo in senso esteso, come condizioni iniziali o condizioni al contorno. La ghianda non origenerà un pino, ma non dice quanto e come la quercia crescerà e quanta ombra farà. Non solo: nel caso dei senzienti è possibile determinare l'esisto di una biforcazione con l'esercizio dell'arbitrio. I determinismi figli del demone laplaciano costruiscono un sistema chiuso di traiettorie a priori in cui il libero arbitrio è un'illusione, le dinamiche dei sistemi non lineari dicono l'opposto: nei fenomeni che ci riguardano più da vicino le traiettorie a priori non esistono, la struttura è prodotto del processo e il sistema è aperto. E' qualcosa di affine al commento Tuán Zhuàn al primo esagramma dell'I-Ching, Ch'ien, Il Creativo: Le nubi vanno e la pioggia opera, e ogni singolo essere fluisce verso la propria forma. La forma è il risultato del processo, non di una traiettoria a priori.

Il cuoco Ting sosteneva che con le traiettorie a priori si buttano via i coltelli:

Il cuoco Ting stava macellando un bue per il signore Wen Hui. Ogni movimento della sua mano, ogni scrollata di spalla, ogni passo del piede, ogni spinta del ginocchio, ogni suono della carne che cedeva e il sibilo del coltello che scendeva - tutto era in perfetto accordo, come la Danza del Boschetto di Gelsi o il ritmo del Ching-shou.
"Ah, magnifico!" disse il signore Wen Hui. "Come hai potuto affinare la tua abilità fino a questo punto?"
Il cuoco Ting posò il coltello e disse: "Ciò che il vostro servo ama più di ogni cosa è il Tao, che vale più di qualsiasi arte. Quando cominciai a tagliare i buoi, vedevo soltanto un bue intero. Dopo tre anni, avevo imparato a non vedere il bue come un tutto. Ora lavoro con la mente, non con gli occhi. Metto da parte i sensi e seguo lo spirito. Vedo le linee naturali e il mio coltello scivola attraverso le grandi cavità, segue i grandi vuoti, traendo vantaggio da ciò che è già lì. Così evito i grandi tendini, e ancor più le grandi ossa. Un buon cuoco cambia il coltello una volta all'anno - perché affetta. Un cuoco ordinario lo cambia ogni mese - perché spacca. Questo mio coltello lo uso da diciannove anni e ha tagliato migliaia di buoi. Eppure la lama è affilata come se fosse stata appena arrotata. Tra le giunture ci sono spazi, e la lama di un coltello non ha spessore reale. Inserire ciò che non ha spessore in spazi come questi - c'è tutto il posto del mondo, certamente abbastanza perché il coltello lavori. Tuttavia, quando arrivo a un punto difficile e vedo che sarà difficile, faccio attenzione e procedo con cura. Guardo con attenzione e mi muovo con cautela. Poi, molto delicatamente, muovo il coltello finché c'è una separazione e la carne si divide come una zolla di terra che cade al suolo. Mi fermo con il coltello in mano, mi guardo intorno, e poi, con un senso di soddisfazione, pulisco il coltello e lo ripongo."
"Splendido!" disse il signore Wen Hui. "Ho ascoltato le parole del cuoco Ting e da esse ho imparato come vivere la vita pienamente." (Zhuangzi, traduzione in italiano dall'edizione Penguin Books a cura di Martin Palmer)

Il demone di Laplace è impotente. La mappa logistica e quella quadratica lo rendono inoperante. Lyapunov lo svuota di significato. Prigogine e le biforcazioni gli negano la traiettoria. E qualcosa di molto più antico fa lo stesso: 

L'uomo segue la terra, la terra segue il cielo, il cielo segue il Tao, il Tao segue ziran (Tao Te Ching)

E ziran non ha una traiettoria a priori.

LA TRAIETTORIA NON ESISTE - 5 - ANCORA ITERAZIONI E STRUTTURA (E IA)

Questa è un'ultima carrellata di immagini. Perché alla fine, al di là di equazioni, algoritmi e tutto il resto, il fascino di questi argomenti è prevalentemente visivo. 

Se vi ricordate l'insieme di Mandelbrot viene fuori da z_n+1 =z_n² + c. Se manteniamo c costante non otteniamo l'insieme di Mandelbrot, ma il Julia Set per quel particolare valore di c, cioè una particolare sezione/sottoinsieme del Mandelbrot Set.

Immagine creata con Python

Questo è un particolare Julia Set (con c = 0.355 + 0.355i) che costituisce una sezione dei filamenti che si diramano dalle estremità del Mandelbrot Set.
Se notate, le spirali grandi centrali sono circondate da spirali più piccole, le quali a loro volta sono composte da spirali ancora più microscopiche, e così via all'infinito. Questo zoom mostra perfettamente il concetto di auto-similarità: ogni filamento secondario imita la struttura globale del frattale stesso.

Il Mandelbrot Set fa parte della famiglia delle mappe quadratiche, ma la famiglia delle mappe logistiche/densità-dipendenti si estende a equazioni alle differenze finite con multiplo feedback. Un esempio? Questo:

Dove:

H_t (Host density): La densità della popolazione di ospiti al tempo t.

P_t (Parasitoid density): La densità della popolazione di parassitoidi al tempo t.

r (Intrinsic growth rate): Il tasso intrinseco di crescita dell'ospite. 

a (Parasitoid attack rate / Searching efficiency): Il tasso di attacco o efficienza di ricerca del parassitoide. Rappresenta la capacità del parassitoide di scovare e infettare l'ospite.

e^-aP_t: La probabilità che un ospite sfugga al parassitismo.

(1 − e^-aP_t): La probabilità che un ospite venga parassitato. Moltiplicato per H_t, indica il numero di ospiti infettati che daranno origine esattamente a 1 parassitoide adulto ciascuno nel tempo t+1.

Per un momento lasciate perdere tutto questo e date un'occhiata alla matematica. Questo sistema di equazioni alle differenze finite è vertiginoso. H_t+1 è proporzionale sia a H_t che a e^-Pt dove P_t+1 è proporzionale sia ad H_t che a e^-Pt: è un labirinto di feedback incrociati. E il suo diagramma di biforcazione è un merletto:

Grafico ottenuto con Python

Ma di cosa stiamo parlando?

Il parassita vive a spese dell'ospite ma generalmente non lo uccide - almeno non direttamente e non immediatamente. Il parassitoide invece uccide l'ospite, ma con tempistica controllata. La femmina depone le uova dentro o sopra l'ospite (tipicamente un insetto). La larva si sviluppa nutrendosi dei tessuti dell'ospite dall'interno, tenendolo in vita il più a lungo possibile - perché un ospite vivo è cibo fresco. Quando la larva ha completato lo sviluppo l'ospite è consumato e muore. L'adulto è libero e autonomo.
Il parassitoide è quindi a metà strada tra parassita e predatore: come il predatore uccide, come il parassita lo fa lentamente e dall'interno. La distinzione è rilevante per i modelli perché ogni femmina parassitoide produce esattamente un nuovo parassitoide per ospite parassitizzato. Si tratta solitamente di insetti che predano/parassitano altri insetti, come le vespe braconidi.

Ma la cosa più importante è la struttura, prodotto delle iterazioni, che rispecchia la complessa dinamica del sistema: quando l'attack rate del parassitoide supera 4.5 la transizione verso il caos è molto veloce. E ancora una volta, per quanto la matematica sia meno semplice di quella di una mappa logistica o quadratica, la notevole struttura è un prodotto del processo iterativo che non può essere immediatamente derivato dalla matematica.

Ultima immagine, quella di un fiocco di neve:

Immagine generata da Grok

Curiosamente un fiocco neve, con la sua geometria frattale (determinabile sperimentalmente) non sembra replicabile facilmente tal quale da un algoritmo. L'acqua cristallizza nel sistema esagonale, con i legami a idrogeno a 120° tra una molecola e l'altra. Quindi il  processo di crescita è ricorrente nel senso fisico del termine - molecola per molecola - e le regole che lo governano vengono dalla meccanica quantistica, dalla geometria degli orbitali molecolari di H₂O.

Questa immagine è stata generata dal seguente prompt:

Highly detailed macro photograph of a single perfect snowflake, intricate symmetrical hexagonal structure with delicate branches and ice crystals, sharp focus, captured under microscope, realistic photography style like Wilson Bentley or Nathan Myhrvold, high resolution, white background with subtle light reflections.

E in questo caso non si parla di algoritmi iterativi, ma di quello che viene dopo Photoshop, nonché di come non pagare il copyright sulle immagini. Ma non vi ingannate: i processi di cristallizzazione producono strutture del genere nella realtà, con simmetrie semplici come quelle del fiocco di neve o con simmetrie meno estese, a dare strutture dendritiche, anche esse frattali.

APPENDICE

Mathematica, oltre a una funzione MandelbrotSetPlot(), ha anche JuliaSetPlot(). In questo caso l'immagine del Julia Set è stata ottenuta con lo stesso tipo di codice Python usato per il Mandelbrot Set, impostando c come costante. Ma il modo più facile e gratuito per esplorare il Julia Set è usare Wolfram Alpha (free).

Per quanto riguarda la generazione del diagramma di biforcazione per il modello BFL lo schema generale del codice non è diverso da quello per la generazione di una mappa quadratica, ma non esiste un criterio generale di escape dal ciclo di generazione della matrice dei punti (|x|>2, nel caso della mappa quadratica). 


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl

r           = 2.0
H0, P0      = 0.5, 0.1
a_min       = 3.0
a_max       = 5.0
n_a         = 1500
n_transient = 2000
n_plot      = 60    # basso: punti grandi coprono le bande rade

a_values = np.linspace(a_min, a_max, n_a)
xs, ys = [], []

for a in a_values:
    H, P = H0, P0
    for _ in range(n_transient):
        Hn = H * np.exp(r*(1-H)) * np.exp(-a*P)  #Modello BFL
        Pn = H * (1 - np.exp(-a*P))              #Modello BFL
        H, P = max(Hn,0.0), max(Pn,0.0)          #Garantisce che H e P siano positivi
        if not np.isfinite(H+P): H=P=0; break    #condizione di fuga
    for _ in range(n_plot):
        Hn = H * np.exp(r*(1-H)) * np.exp(-a*P)
        Pn = H * (1 - np.exp(-a*P))
        H, P = max(Hn,0.0), max(Pn,0.0)
        if not np.isfinite(H+P): break
        xs.append(a); ys.append(H)

mpl.rcParams.update({
    "font.family": "DejaVu Sans", "font.size": 11,
    "axes.spines.top": False, "axes.spines.right": False,
    "axes.linewidth": 0.7,
    "xtick.direction": "out", "ytick.direction": "out",
})

fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 4.5), dpi=300)
ax.scatter(xs, ys, s=0.5, color="#4455aa", alpha=0.5,
           linewidths=0, rasterized=True)
ax.set_xlabel("Parasitoid attack rate", labelpad=8)
ax.set_ylabel("Host density", labelpad=8)
ax.set_title(
    "Beddington-Free-Lawton (1975) — diagramma di biforcazione\n"
    r"$H_{t+1}=H_t\,e^{r(1-H_t)}\,e^{-aP_t}$   "
    r"$P_{t+1}=H_t\!\left(1-e^{-aP_t}\right)$   "
    f"$r={r}$",
    fontsize=9, pad=10
)
ax.set_xlim(a_min, a_max)
ax.set_ylim(0, 2.0)
ax.set_xticks([3.0, 3.5, 4.0, 4.5, 5.0])
ax.tick_params(labelsize=9)
plt.tight_layout()
plt.show()

In breve, se qualcuno si ricorda cosa succede con la mappa quadratica, già in quel caso esponenziali negative e serie divergenti a + ∞ erano un problema da trattare. Ma |x|=2 era una soglia ricavabile analiticamente. Con il modello BFL non è possibile ricavare analiticamente la soglia. Quindi si evitano i valori negativi con H, P = max(Hn,0.0), max(Pn,0.0) (sarebbe a dire: se H o P calcolati sono negativi, il loro valore viene settato a 0); if not np.isfinite(H+P): H=P=0; break invece evita la divergenza all'infinito ancora una volta settando i valori di H e P a  0, uscendo dal ciclo interno e passando al valore successivo di a. La soglia di fuga non è solo una necessità computazionale: non possono esistere densità infinite (o negative) dell'ospite o del parassitoide.

Effettuando questi controlli ad ogni passo il programma è più machine intensive di quello per la mappa quadratica: 26,6 secondi contro i 6,5 secondi per una mappa quadratica - il Mandelbrot Set (Python 3, Windows 10 su un i5-7300 2.60 GHz).

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LA TRAIETTORIA NON ESISTE - 4 - ITERAZIONI MUSICALI

In uno studio pubblicato su Fractals nel 2007, Brothers ha documentato la struttura frattale nella fraseggiatura delle note che Bach utilizzò per comporre la sua Suite per violoncello n. 3. All'interno di quella composizione, i pattern di note lunghe e brevi all'interno delle battute si ripresentavano come pattern di frasi lunghe e brevi a scale più ampie. L'autosimilarità della suite, osservò Brothers, presentava una somiglianza notevole con il Pettine di Cantor, una visualizzazione di un frattale storico noto come Insieme di Cantor (descritto da Georg Cantor nel 1883, un secolo prima che Mandelbrot introducesse per la prima volta il termine "frattale").
(Stephen Ornes, Hunting fractals in the music of J.S. Bach, PNAS 111 (29) 10393)

Analisi altamente sofisticate di questo genere sono al di là dello scopo del presente testo, ma restano rilevaniggggg per il tema. Gli esempi di strutture iterative molto più evidenti sono abbondanti nella musica barocca. 

Un aspetto del contesto barocco che perlopiù viene tralasciato in contesti non specialistici riguarda il peso dell'improvvisazione nella pratica musicale del XVII e del XVIII secolo. L'improvvisazione (o la composizione) su una linea di basso è uno dei leit motiv caratteristici di quei due secoli di musica europea, come lo furono l'aria con variazioni e altre forme con struttura iterativa, nate in un contesto impovvisativo (fenomeno arrivato nel XX secolo con l'improvvisazione basata su standard nel jazz).

Cominciamo con un esempio di aria con variazioni


 

La struttura è immediatamente identificabile, ogni variazione è una iterazione del tema dell'aria esposta inizialmente. Nell'elemento unitario, cioè il tema dell'aria, non è contenuta alcuna informazione da cui si possa ricavare quale potrà essere la completa struttura di ogni variazione. A priori possiamo solo dire che la concatenazione armonica sarà la stessa ad ogni iterazione.

Un celebre esempio illustra efficacemente una doppia iterazione: basso ostinato, cioè linea di basso che ripete sempre uguale, e canone, cioè la seconda voce che itera la prima con un ritardo temporale. Dalla partitura si vede benissimo:

L'istanza unitaria del basso ostinato è evidenziata in giallo. Chi non ha alfabetizzazione musicale può comunque notare che Violino II replica Violino I con un ritardo di due misure, e Violino III lo fa con un ritardo di quattro misure.
Si tratta del celebre Canone in Re maggiore di Pachelbel.




E anche in questo caso è impossibile predirre la struttura del pezzo dal basso ostinato o dalle prime due battute del  primo violino. O meglio, la regola del canone a tre voci ci permette di sapere, data la prima voce, quali sarenno la seconda e la terza dopo rispettivamente due e quattro misure. Ma è un processo in divenire e che la struttura del brano sia un prodotto dell'iterazione dovrebbe essere evidente anche ad un orecchio inesperto.

L'ultimo e più importante esempio lo prendo da J.S. Bach. Si tratta di un brano del "Vecchio Bach", come veniva chiamato nei sui ultimi anni, quando suo figlio Carl Philipp Emanuel Bach era molto più quotato e popolare di lui. Nella Passacaglia e Fuga in Do minore BWV 582 l'elemento iterato, il basso ostinato, è relativamente semplice.

Rispetto al canone di Pachelbel in questo caso il set di regole è ridotto: c'è solo il basso ostinato al pedale, che presenta variazioni ritmiche con l'aumentare delle iterazioni e passerà ad altre voci o resterà solo come successione armonica, tornando al pedale da ultimo (poi diverrà uno dei due temi della successiva doppia fuga). E la libertà armonica che ne deriva genera dall'iterazione una struttura incredibile.

Come nel caso della mappa logistica, come in quello della mappa quadratica e dell'insieme di Mandelbrot, questi sono esempi in cui la struttura non è determinabile a priori dalla regola dell'iterazione. Chi legge z → z² + c non vede il Mandelbrot Set. Il processo, automatico per z → z² + c,  è guidato dall'arte e dal senso estetico del compositore nei casi di Handel, Pachelbel, Bach e di tanti altri, Ma l'iterazione è comunque lì e chi legge il basso ostinato della Passacaglia non sente il BWV 582. La struttura non è nella regola. La struttura emerge dal processo, la struttura è il processo.

LA TRAIETTORIA NON ESISTE - 3 - CHAOS RISING

 

 

Fin qua ci siamo mossi tra chimica fisica, matematica, codice: il territorio. Ma tutto questo ebbe anche una mappa culturale. Prigogine e Stengers fornirono le fondamenta con Order Out Of Chaos (prima edizione in francese come La Nouvelle Alliance nel 1979). L'edizione americana, grazie alla prefazione di Alvin Toffler ebbe una certa risonanza, considerando che si trattava di un testo che parlava di entropia, strutture dissipative, biforcazioni e freccia del tempo. E Mandelbrot nel 1982 pubblicò The Fractal Geometry Of Nature, che ebbe una sorte simile a Order Out Of Chaos. Ma fu James Gleick che nel 1987 con Chaos, Making A New Science provvide alla narrativa, anzi, alla leggenda, vendendo più di un milione di copie:

Mitchell Feigenbaum era un caso insolito. Aveva all’attivo esattamente un articolo pubblicato e non stava lavorando a nulla che sembrasse particolarmente promettente. I suoi capelli erano una criniera arruffata che si allungava all’indietro dalla sua ampia fronte, nello stile dei busti dei compositori tedeschi. I suoi occhi erano vivaci e appassionati. Quando parlava, sempre rapidamente, tendeva a omettere articoli e pronomi in un modo vagamente mitteleuropeo, benché fosse originario di Brooklyn. Quando lavorava, lo faceva in modo ossessivo. Quando non poteva lavorare, camminava e pensava, di giorno o di notte, e la notte era la migliore di tutte. La giornata di ventiquattro ore gli sembrava troppo limitante. Tuttavia, il suo esperimento di quasiperiodicità personale giunse al termine quando decise che non poteva più sopportare di svegliarsi al tramonto, come inevitabilmente accadeva ogni pochi giorni.

All’età di ventinove anni era già diventato un sapiente tra i sapienti, un consulente ad hoc al quale gli scienziati si rivolgevano per qualsiasi problema particolarmente ostico, quando riuscivano a trovarlo. Una sera arrivò al lavoro proprio mentre il direttore del laboratorio, Harold Agnew, se ne stava andando. Agnew era una figura influente, uno degli originari allievi di Oppenheimer. Aveva sorvolato Hiroshima a bordo di un aereo con strumenti di rilevazione che accompagnava l’Enola Gay, fotografando lo sgancio del primo prodotto del laboratorio.

«So che sei davvero intelligente», disse Agnew a Feigenbaum. «Se sei così intelligente, perché non risolvi proprio la fusione laser?»

Persino gli amici di Feigenbaum si chiedevano se avrebbe mai prodotto un lavoro suo. Per quanto fosse disposto a fare magie improvvisate con le loro domande, non sembrava interessato a dedicare le proprie ricerche a un problema che potesse dare risultati concreti. Pensava alla turbolenza nei liquidi e nei gas. Pensava al tempo - scorre in modo fluido in avanti o procede a scatti discreti come una sequenza di fotogrammi di un film cosmico?...

...Quando Mitchell Feigenbaum iniziò a occuparsi del caos a Los Alamos, era uno di una manciata di scienziati sparsi qua e là, per lo più sconosciuti l’uno all’altro. Un matematico di Berkeley, in California, aveva formato un piccolo gruppo dedicato a creare un nuovo studio dei “sistemi dinamici”. Un biologo delle popolazioni all’Università di Princeton stava per pubblicare un appello appassionato affinché tutti gli scienziati esaminassero il comportamento sorprendentemente complesso che si nasconde in alcuni modelli semplici. Un matematico dedicato alla geometria che lavorava per l’IBM cercava una nuova parola per descrivere una famiglia di forme – frastagliate, aggrovigliate, scheggiate, tortuose, fratturate – che considerava un principio organizzatore della natura. Un fisico matematico francese aveva appena sostenuto, in modo controverso, che la turbolenza nei fluidi potesse avere qualcosa a che fare con una strana e infinitamente aggrovigliata astrazione che chiamava “strano attrattore” .

Il matematico a Berkeley era Stephen Smale, che ricevette la Medaglia Fields nel 1966, il biologo a Princeton (in realtà un un fisico prestato alla biologia delle popolazioni) era Lord Robert May, il matematico studioso di geometria Benoit Mandelbrot e il fisico francese David Ruelle (Feigenbaum lo avete incontrato qui). Nomi totalmente dimenticati, in Italia, dal recente "discorso sulla scienza". Occorre notare che la narrazione di Gleick non includeva Ilya Prigogine se non nel capitolo con l'apparato bibliografico Notes And Further Readings, dove si cita Order Out Of Chaos. Questo fatto non fu senza conseguenze: se effetto farfalla e frattali entrarono appieno nell'immaginario pop e se il concetto di strano attrattore ebbe una forte ascendenza sul cyberpunk letterario, in quel movimento Bruce Sterling fu l'unico a traghettare nella fiction il Nobel per la Chimica russo-belga creando il concetto di balzo prigoginico (un punto di biforcazione nell'evoluzione dell'umanità, o meglio della postumanità, nel sistema solare).

 

Ma andiamo per ordine. Alan Moore si era da poco preso un posto definitivo nella storia del fumetto grazie a Watchmen (con Dave Gibbons, 86-87), quando annunciò un progetto con il nome (provvisorio) The Mandelbrot Set, nell'estate del 1988. Sarebbe stato un progetto indipendente e il disegnatore sarebbe stato Bill Sienkiewicz, che si era affermato come uno dei maggiori artisti nel campo con New Mutants (1984-1985), Daredevil: Love and War (su scenegiatura di Frank Miller, 1986), Elektra: Assassin (su sceneggiatura di Frank Miller, 1986-1987), nonché con l'immenso Stray Toasters (1988). I primi due numeri del nuovo progetto uscirono nel 1990 per l'editrice indipendente Mad Love di Alan Moore.

Big Numbers, di Moore e Sienkiewicz, che avrebbe dovuto intitolarsi The Mandelbrot Set, uscì in una forma inusuale. Albo quadrato di 10 pollici per 10 pollici, 40 pagine, spillato. In bianco e nero, o meglio in sfumature di grigio. La griglia di vignette di Watchmen (3x3) era stata espansa in una 4x3, grazie al formato insolito. E le prime otto pagine del primo numero, vignetta dopo vignetta, senza parole, scandivano il sogno di una donna addormentata al suo posto su un treno locale. Un sogno inquietante, mentre nel terreno incolto adiacente la ferrovia un ragazzino cerca qualcosa da gettare contro il treno, individua un pesante bullone e lo scaglia, infrangendo il vetro del finestrino dello scompartimento dove è la donna. Una buona descrizione dell'opera per come la conosciamo la mutuo da qui: una società americana costruisce un centro commerciale ai margini della città di Hampton e sconvolge la vita di tutti coloro che ne vengono coinvolti. Questo è il punto di partenza, ma in realtà parla di molto altro: della follia, del mondo quantistico e della teoria del caos nella vita quotidiana.

Nella copertina del primo numero l'insieme di Mandelbrot sopravviveva nel punto sulla "i" di "Big". Della serie uscirono solo due numeri, il terzo, da un certo punto di vista postumo rispetto al progetto iniziale (19 anni dopo) , uscì online nel 2009. Ci sono alcuni megabyte on line sulle vicende della serie, sul perché e il per come non venne finita. Se avete voglia e pazienza potete leggervi Last War On Albion, di Elizabeth Sandifer su Eruditorum Press.

 

Moore era un appassionato lettore di Scientific American e New Scientist (quelli dell'epoca, poco a che fare con i prodotti editoriali odierni). Aveva letto GEB di Douglas Hofstadter e Chaos. Making A New Science di Gleick. Non aveva letto The Fractal Geometry Of Nature di Mandelbrot ma ne aveva letto in Gleick. E aveva letto, evidentemente,  Mind Tools di Rudy Rucker.

 

 

Si tratta di una doppia, esplicita citazione: Mind Tools e "Life is a fractal in Hilbert Space", titolo di uno dei capitoli del libro, con tutta probabilità quello che ispirò il concetto dell'opera a Moore (che accennerà alla cosa 20 anni dopo in una intervista):

Perché descrivo esattamente questo tipo di costruzione software come un frattale? Il motivo è che qualsiasi parola nel pattern è davvero centrale quanto qualsiasi altra parola. In ogni posizione ci sono moltissimi rami che si diramano, ed è proprio così che ci si sente, no? Se qualcuno vuole parlarmi di me stesso, posso cominciare praticamente da qualsiasi punto. In effetti, invece di far partire sempre il programma con la sigaretta accesa alle 4:08, sarebbe ugualmente valido farlo partire da una posizione casuale, o dai rami che si dipartono da qualsiasi parola particolare che il lettore voglia selezionare.

Quanti rami si dipartiranno da ogni parola chiave? Moltissimi. Se si prendono in considerazione qualità sempre più raffinate, non c'è fine alle domande che si possono porre su un concetto semplice come "SIGARETTA." Qualsiasi concetto nel mio mondo è in relazione con molti, moltissimi altri concetti. Spingendo un po' oltre, potremmo persino dire che in ogni punto ci sono infiniti rami. Come spiegherò nella sezione successiva, i matematici usano l'espressione "spazio di Hilbert" per indicare un tipo comunemente usato di spazio a infinite dimensioni, quindi se pensiamo a ciascuna linea di indagine (direzione di ramo) come a qualcosa di simile a una dimensione, ha senso parlare del mio frattale di vita come di un frattale nello spazio di Hilbert.

Visto dall'esterno, sono davvero la stessa cosa del mio frattale di vita completo. All'interno della mia vita, ho la sensazione che il tempo passi, di essere vivo, di avere libero arbitrio, e così via, ma in termini di ciò che posso effettivamente dire della mia vita, sono lo stesso del mio software, lo stesso del mio frattale di vita. Lo spazio di Hilbert, con tutte le sue dimensioni, ha posto per molte cose. Ha posto per il tuo frattale di vita così come per il mio; ha posto per il frattale di vita di tutti. È evidente che questi frattali si connetteranno in certi punti, per esempio nei punti in cui le persone interagiscono, o nei punti in cui le persone condividono credenze comuni. Tutto si somma in un unico grande frattale di vita universale!

Rudy Rucker non protestò per la citazione. D'altra parte, accademico e atipico divulgatore, probabilmente era più affezionato al suo essere romanziere e in particolare all'essere uno scrittore cyberpunk.

Perché il nome originale della serie non fu mantenuto? Moore, prima di procedere, contattò Mandelbrot per chiedere il permesso di intitolare la serie con il suo nome.
Mandelbrot rispose con una lettera molto gentile in cui diceva che in linea di principio era favorevole all'uso della matematica frattale per scopi educativi o di intrattenimento.
Tuttavia, in quel periodo (fine anni '80) c'era una controversia interna nel mondo accademico della matematica. Alcuni matematici più conservatori criticavano duramente i frattali e accusavano Mandelbrot stesso di essere un egocentrico che cercava esposizione mediatica. Usare il suo nome per un fumetto avrebbe prestato il fianco ad ulteriori accuse nei suoi confronti. La cosa è testimoniata in una vignetta nel lavoro autobiografico di Eddie Campbell Alec - The years have pants. Campbell aveva a lungo lavorato con Moore a From Hell e quindi era persona informata dei fatti.

Lo zenit del caos nella mappa della cultura occidentale fu raggiunto con l'uscita del film Jurassic Park (1993) di Steven Spielberg, tratto dall'omonimo romanzo di Michael Crichton (1990). Le parti del romanzo erano presentate come iterazioni di un frattale:

Il frattale è il Drago di Heighway ma Crichton non lo usò in modo esatto. Resta il fatto che in Crichton il protocollo, la tecnica, la scienza sono l'infrastruttura in cui i personaggi si muovono. Ed è, fin da The Andromeda Strain, una scienza iperreale (per esigenze narrative) ma con le incertezze, l'incognito e gli outlier. Da questo punto di vista la maggior parte del corpus della sua narrativa è più realistica della maggior parte dell'attuale divulgazione. Con il suo background Crichton non poteva rimanere indifferente al senso delle teorie del caos e dei frattali.

Stiamo parlando di segni? Chiaramente sì. Tra la metà degli anni '80 e i primi '90 le teorie del caos finirono per diventare un oggetto pop. I frattali erano cool, Escher era cool, finirono su t-shirt, poster, prodotti da cartoleria e tutto il resto. "Effetto farfalla" diventò una locuzione pop usata più o meno a sproposito. Tutto questo aveva natura simulacrale, cioè era privo di referente reale? Sì e no. Inutile provare a sostenere che senza la sua immagine il Mandelbrot Set conserva la stessa quantità di significato, un significato non contenuto in z_n+1=z_n²+c. 

Crichton, Moore, gli autori del cyberpunk usavano l'immaginario di teorie del caos e frattali. Lo facevano per produrre fiction (arte, se volete), una fiction ricca di senso. Le fondamenta di quel senso erano la complessità. E "complessità" come fondamenta è cosa del tutto altra da "complessità" come decorazione. Nel discorso pubblico attuale sulla scienza "complessità" è pura decorazione nel senso di "accessoria". "La scienza dice ed è complesso" mette l'accento sulla "verità scientifica" e in questo contesto "complessità" è accessorio per significare "i più non possono capire ma si devono fidare". 
Non solo. La mappa culturale delle teorie del caos segnò un periodo in cui il demone di Laplace era stato largamente espunto dalla cultura occidentale: anche se potessimo conoscere le condizioni iniziali per ogni frammento dell'universo, non potremmo determinarne l'esito perché il minimo errore nella determinazione in quelle condizioni produrrebbe risultati divergenti. Una rivendicazione delle ragioni della complessità che rimanda a citazioni classiche: There are more things in heaven and earth, than are dreamt of in your philosophy.

 

Ci sono contesti a cui è spesso associato il termine "decorazione", contesti dove la decorazione non è accessoria ma forma, quindi significato, per esempio il gotico fiammeggiante o il barocco. Ma è soprattutto nella musica barocca che l'elemento decorativo, fin dall'abbellimento (più che il trillo la varietà dei mordenti), è forma e significato. Il tema con variazioni e la variazione su tema, nelle loro varie specie, sono esempi  in cui l'iterazione genera struttura.

(to be continued)

LA TRAIETTORIA NON ESISTE - 2 - ITERAZIONI E STRUTTURA

Particolare dell'insieme di Mandelbrot ottenuto con Mathematica e MandelbrotSetPlot()

La complessità dell'insieme di Mandelbrot è straordinaria, tanto più considerando che la definizione di questo insieme è, per gli standard delle definizioni matematiche, sorprendentemente semplice. È anche vero che la struttura generale dell'insieme non è molto sensibile alla forma algebrica precisa della trasformazione z → z²+c che abbiamo scelto. Molte altre trasformazioni complesse iterate (ad esempio z → z³+iz²+c) producono strutture straordinariamente simili (a condizione di scegliere un numero di partenza appropriato — forse non 0, ma un numero il cui valore è caratterizzato da una regola matematica chiara per ciascuna scelta appropriata di trasformazione). Esiste, in effetti, una sorta di carattere universale o assoluto in queste strutture "di Mandelbrot" riguardo alle trasformazioni complesse iterate. Lo studio di tali strutture costituisce una disciplina a sé nell'ambito della matematica, denominata sistemi dinamici complessi.
(Roger Penrose, La mente nuova dell'Imperatore, 1989)

Le immagini dell'insieme di Mandelbrot che vedete sono immagini nel piano complesso (o piano di Gauss) dove l'ascissa è la parte reale del numero e l'ordinata la parte immaginaria. 

L'insieme di Mandelbrot fu ricavato per la prima volta nel 1978 da Robert W. Brooks e Peter Matelski, al Thomas Watson Research Institute di IBM, con un programma in Fortran. Viene fuori da una equazione apparentemente identica da quella mappa quadratica:

Ma in questo caso z è un numero complesso. E questo, all'epoca, in teoria, non costituiva un problema con il Fortran, che supportava il tipo di dato COMPLEX fin dal 1962. In teoria, perché un computer lavora solo con numeri reali, quindi COMPLEX veniva tradotto a livello di compilazione, calcolando il modulo del numero complesso |z| = √(x² + y²). Una traduzione onerosa per i mainframe IBM di quei tempi, per cui la radice quadrata era un'operazione machine intensive, e un problema rilevante in un programma che calcolava decine di milioni di punti o più. Quindi probabilmente fu usata a livello di codice una traduzione dal piano complesso al piano cartesiano per calcolare la "soglia di fuga", cioè quella soglia al di sopra della quale si hanno successioni divergenti. Per la mappa quadratica la soglia è |x|=2, in questo caso diventa x²+y²=4 (questa è un'ipotesi con qualche fondamento, non c'è letteratura al riguardo).

Mandelbrot set ottenuto con Mathematica usando l'escape-time algorythm

L'insieme di Mandelbrot ha corrispondenze con i punti di biforcazione del diagramma della mappa quadratica:

Da wikipedia

L'insieme di Mandelbrot è forse il caso più estremo in cui i risultati non sarebbero stati possibili senza i computer dell'epoca. Parlando di teorie del caos e dinamiche governate da feedback, Poincaré, Kermack e MacHendrick, Lotka e Volterra con l'analisi matematica, le equazioni differenziali (ed eventualmente regoli calcolatori e tavole dei logaritmi) non si sarebbero potuti spingere nei territori esplorati da Lorenz, May, Mandelbrot, Prigogine. Per questo motivo in questa serie di post e nella precedente Feedback, Caos ho inserito codice nelle appendici: è un modo per dare al lettore l'occasione di guardare dentro gli ingranaggi di queste scoperte.

E' impossibile non notare la ricchezza e l'incredibile varietà di dettagli del perimetro del Mandelbrot Set. Ma niente di tutto questo era prevedibile a priori da z_n+1=z_n²+c, come nel caso delle biforcazioni per la convezione di Benard non è possibile stabilire a priori la strada che il sistema prenderà. Per il Mandelbrot Set, come per gli altri frattali, la struttura non è nell'algoritmo di base, ma nelle sue iterazioni. La struttura è nel processo.

Credo che il modo migliore per concludere questa seconda puntata sia con le parole di Mandelbrot stesso:

F. J. Dyson ha offerto un riassunto eloquente di questo mio tema.

"Frattale è una parola inventata da Mandelbrot per riunire sotto un'unica denominazione una vasta classe di oggetti che hanno [svolto]... un ruolo storico... nello sviluppo della matematica pura. Una grande rivoluzione di idee separa la matematica classica del XIX secolo dalla matematica moderna del XX. La matematica classica affondava le sue radici nelle strutture geometriche regolari di Euclide e nella dinamica continuamente evolutiva di Newton. La matematica moderna ebbe inizio con la teoria degli insiemi di Cantor e la curva riempitiva dello spazio di Peano. Storicamente, la rivoluzione fu imposta dalla scoperta di strutture matematiche che non si adattavano agli schemi di Euclide e Newton. Queste nuove strutture furono considerate... 'patologiche,'... come una 'galleria di mostri,' affini alla pittura cubista e alla musica atonale che stavano sconvolgendo i canoni estetici nelle arti più o meno nello stesso periodo. I matematici che crearono i mostri li consideravano importanti nel dimostrare che il mondo della matematica pura contiene una ricchezza di possibilità che va ben oltre le semplici strutture che essi vedevano nella Natura. La matematica del Novecento fiorì nella convinzione di aver trasceso completamente i limiti imposti dalle sue origini naturali.

"Ora, come Mandelbrot fa notare,... la Natura ha giocato un tiro mancino ai matematici. I matematici del XIX secolo potevano difettare di immaginazione, ma la Natura no. Le stesse strutture patologiche che i matematici inventarono per liberarsi dal naturalismo ottocentesco si rivelano essere intrinseche agli oggetti familiari che ci circondano."

In breve, ho confermato l'osservazione di Blaise Pascal secondo cui l'immaginazione si stanca prima della Natura. ("L'imagination se lassera plutôt de concevoir que la nature de fournir.")

Ciononostante, la geometria frattale non è una semplice "applicazione" della matematica del XX secolo. È un nuovo ramo nato tardivamente dalla crisi della matematica iniziata quando duBois Reymond nel 1875 riferì per primo di una funzione continua non differenziabile costruita da Weierstrass (Capitoli 3, 39 e 41). La crisi durò approssimativamente fino al 1925, con Cantor, Peano, Lebesgue e Hausdorff come protagonisti principali. Questi nomi, insieme a quelli di Besicovitch, Bolzano, Cesàro, Koch, Osgood, Sierpiński e Urysohn, non si incontrano ordinariamente nello studio empirico della Natura, ma sostengo che l'impatto del lavoro di questi giganti trascenda di gran lunga la portata originariamente prevista. Mostro che dietro le loro creazioni più ardite, e a loro insaputa e a insaputa di diverse generazioni di seguaci, si celano mondi di interesse per tutti coloro che celebrano la Natura cercando di imitarla.

Ancora una volta, siamo sorpresi da ciò che diverse occorrenze passate avrebbero dovuto portarci ad aspettarci: "il linguaggio della matematica si rivela irragionevolmente efficace nelle scienze naturali..., un dono meraviglioso che non comprendiamo né meritiamo. Dovremmo esserne grati e sperare che rimanga valido nella ricerca futura e che si estenda, nel bene e nel male, con nostra soddisfazione anche se forse anche con nostro sconcerto, a vasti rami del sapere" (Wigner 1960).

(Benoit Mandelbrot, The fractal geometry of Nature, 1983)

 

APPENDICE

Degno di nota il fatto che Brooks e Matelski nel 1978 resero pubblico il primo set di Mandelbrot, uscito da una stampante a aghi, ma non fecero altrettanto con il codice sorgente né lo inclusero nel loro intervento a un congresso, poi pubblicato nell'81 (The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2, C), in Riemann Surfaces and Related Topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference).

Non solo il FORTRAN IV aveva il tipo di dato COMPLEX, ma non era una buona idea usarlo in un caso del genere, il linguaggio aveva una gestione dei cicli molto rigida del genere DO... IF... GOTO... (WHILE sarebbe arrivato dopo e FORTRAN non ha mai avuto cicli for come il C o Python). Neanche Mandelbrot pubblicò mai il codice sorgente. Ci sono stati tentativi di ricostruire quel codice, ma sono appunto ricostruzioni a posteriori non confermate. L'unica cosa abbastanza sicura è che usasse quello che poi è stato definito escape-time algorythm, per la prima volta pubblicato su Scientific American nel 1985 - e il programma era scritto in BASIC (A.K. Dewdney, Computer Recreations: A computer microscope zooms in for a closer look at the most complicated object in mathematics, 1985). E includeva la condizione di fuga: iterazione z = z² + c fino a quando |z|² < 4, la stessa che si ritiene usata da Brooks e Matelski.
Nel caso della mappa quadratica ho eluso la soglia di fuga scegliendo x₀=0.2, per mostrare l'isomorfismo con il codice per il diagramma di biforcazione della mappa logistica. In questo caso, anche per aderenza alla storia, la condizione di fuga è inclusa nel codice. Il codice è stato prototipato con Mathematica e poi scritto in Python.

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def mandelbrot(c, max_iter):
    z = 0
    for n in range(max_iter):
        if abs(z) > 2:                            #la condizione di fuga
            return n
        z = z**2 + c                              #la mappa quadratica
    return max_iter

max_iter = 100

xs = np.arange(-2.0, 1.0, 0.005)                  # Range delle coordinate 
ys = np.arange( 1.5, -1.5, -0.005)                # nel piano di Gauss e passo

grid = np.array([
    [mandelbrot(x + 1j*y, max_iter) for x in xs]  #j l'unità immaginaria in Python
    for y in ys                                   #grid costruisce la matrice dei punti
])

plt.figure(figsize=(12, 8))
plt.imshow(grid, cmap="inferno", interpolation="nearest")
plt.axis("off")
plt.tight_layout()
plt.savefig("mandelbrot.png", dpi=150)            #salva l'immagine in un file
plt.show()

Python è un linguaggio interpretato, si possono assegnare i tipi di dati e supporta il tipo complex. Ma se i tipi non vengono dichiarati assegna automaticamente il tipo di dato e non ha problemi a gestire abs(z) con z numero complesso senza che sia esplicitamente dichiarato come tale. Python oggi restituisce il risultato in 6,5 secondi (Python 3, Windows 10 su un i5-7300 2.60 GHz) quando al  FORTRAN IV compilato di fine anni 70 serviva probabilmente più di un'ora.

LA TRAIETTORIA NON ESISTE - 1 - "IL SISTEMA SCEGLIE"

La distanza dall'equilibrio diventa un parametro essenziale nella descrizione della natura, analogamente alla temperatura nella termodinamica dell'equilibrio. Abbassando la temperatura, osserviamo una successione di transizioni di fase attraverso vari stati della materia. Ma nella fisica del non-equilibrio la varietà dei comportamenti è molto maggiore. Abbiamo considerato la chimica ai fini di questa discussione, ma processi analoghi associati alle strutture dissipative di non-equilibrio sono stati studiati in molti altri campi, tra cui l'idrodinamica, l'ottica e i cristalli liquidi.

Guardiamo ora più da vicino l'effetto critico delle fluttuazioni. Come abbiamo visto, le fluttuazioni vicino all'equilibrio sono innocue, ma lontano dall'equilibrio svolgono un ruolo centrale. Non solo abbiamo bisogno dell'irreversibilità, ma dobbiamo anche abbandonare la descrizione deterministica associata alla dinamica. Il sistema "sceglie" uno dei possibili rami disponibili quando si trova lontano dall'equilibrio. Ma nulla nelle equazioni macroscopiche giustifica la preferenza per una soluzione rispetto a un'altra. Ciò introduce un elemento probabilistico irriducibile. Una delle biforcazioni più semplici è la cosiddetta "biforcazione a forcone" (pitchfork bifurcation) rappresentata in Figura 2.4, dove λ = 0 corrisponde all'equilibrio.

Il ramo termodinamico è stabile da λ = 0 a λ = λ_c. Oltre λ_c diventa instabile, e emerge una coppia simmetrica di nuove soluzioni stabili. Sono le fluttuazioni a decidere quale ramo verrà selezionato. Se si sopprimessero le fluttuazioni, il sistema si manterrebbe in uno stato instabile.

(Ilya Prigogine, The End Of Certainty, 1997)

(Prigogine e il suo lavoro sono nel DNA di questo blog fin dal principio, qui e qui)

In precedenza abbiamo osservato il diagramma di biforcazione della mappa logistica. In quel caso i due bracci dopo una biforcazione rappresentano i valori estremi tra cui la popolazione oscilla. In questo caso la biforcazione ha un altro significato: il sistema si colloca su una o un'altra delle due traiettorie e si tratta di traiettorie stabili. Il processo ha una direzione, da sinistra a destra, è irreversibile, non è possibile stabilire a priori quale sarà la traiettoria "scelta" dal sistema.

Non si tratta di filosofia travestita da termodinamica. Dinamiche di questo genere riguardano una gran quantità di diversi fenomeni fisici. Quello preferito da Prigogine come esempio era la convezione di Bénard.

Prendete una padella. Riempitela di olio. Scaldate dal basso, lentamente, con una piastra elettrica. Per piccole differenze di temperatura tra il fondo e la superficie il calore si trasferisce per conduzione - molecola per molecola, senza struttura macroscopica visibile. Il sistema è in uno stato stazionario stabile. Se perturbate leggermente, il sistema torna da solo allo stato di partenza.
Aumentate la differenza di temperatura. A un certo valore critico - il numero di Rayleigh critico - avviene una transizione improvvisa: si formano celle convettive ordinate, visibili, geometricamente regolari. Il fluido caldo sale al centro di ogni cella, si raffredda alla superficie, scende ai bordi. Struttura che emerge spontaneamente dal caos termico.

La transizione improvvisa dalla conduzione alla convezione è un punto di biforcazione nello spazio delle fasi del sistema. La convezione nelle celle di Bénard ha ovviamente un verso e una singola cella potrà ruotare in senso orario o antiorario (quella adiacente ruoterà in senso opposto). Rispetto alla singola cella, i due rami del diagramma dopo il punto di biforcazione rappresentano i due stati alternativi (rotazione oraria o antioraria). Ci sono due differenti aspetti che riguardano l'irreversibilità di questo sistema.

In primo luogo quando inizia la convezione la viscosità del fluido si oppone al movimento. Parte dell'energia interna del fluido (fornita dalla fonte calda) viene usata per contrastare l'attrito dovuto alla viscosità. Il forte aumento della dissipazione viscosa corrisponde a un forte aumento nella produzione di entropia, che quindi è la condizione per l'ottenimento della struttura ordinata metastabile: si tratta di una struttura dissipativa - così Prigogine battezzò fenomeni in cui strutture ordinate vengono mantenute tramite produzione di entropia. 

In secondo luogo, se raffreddate il sistema per poi portarlo di nuovo oltre i punto di biforcazione sarà quasi impossibile ottenere lo stesso insieme di celle ognuna con il precedente verso di rotazione: il processo è irreversibile.

Il diagramma di biforcazione per la convezione di Bénard è dato dalla mappa quadratica:


 

Noterete la somiglianza con la mappa logistica e infatti il diagramma di biforcazione è piuttosto simile:

Cambia l'intervallo di valori di r per cui il grafico è significativo, rispetto alla mappa logistica. E cambiano altre cose (x₀). In particolare il grafico è stato ottenuto scegliendo un x₀ tale da escludere i valori di x con valore assoluto maggiore di 2 mantenendo l'algoritmo usato per la mappa logistica (vedremo in seguito che| x|=2 è una soglia di una certa importanza).
 

La mappa quadratica riguarda una varietà piuttosto ampia di casi.

 

Tutti casi in cui "il sistema sceglie" e la scelta non è inclusa né nella matematica che lo descrive né nelle sue condizioni iniziali: la sua traiettoria, a priori, non esiste.
Particolarmente rilevante la prima voce della tabella: la mappa quadratica costituisce la componente reale dell'insieme di Mandelbrot.

 

APPENDICE 

Il diagramma di biforcazione è stato ottenuto con Mathematica con lo stesso codice usato per la mappa logistica. Già visto con Mathematica, ritengo più utile questa volta includere il codice Python, che produce circa la stessa grafica - Mathematica gestisce la precisione numerica in modo nativo, trasparente, con aritmetica simbolica sottostante e controllo automatico degli errori di arrotondamento, mentre Python/numpy usa IEEE 754 standard, che è generalmente sufficiente ma non garantisce lo stesso livello di accuratezza numerica. Si potrebbe citare Star Wars (il primo, cioè il sesto): An elegant weapon, for a more civilized age. Mathematica è la spada laser, Python è il blaster (e il FORTRAN cosa da Knights Of The Old Republic - nella prossima puntata).

Comunque i punti salienti non stanno né nei linguaggi né nella sintassi, ma nella matematica.

Il punto di partenza (x₀) è stato preso per evitare successioni divergenti (e conseguente maximum overflow) e esponenziali negative troppo veloci (con minimum underflow).

Primi 10 elementi della successione per r=0 e x₀=-0,5

Se osservate l'andamento del modulo degli esponenti c'è un raddoppio a ogni passaggio. Per n=11 il valore sarebbe dell'ordine di 10^-600. Nello standard IEEE 754 (quello usato normalmente nei calcoli a 64 bit), il numero positivo più piccolo rappresentabile è circa 4.9x10-324, quindi oltre n=10 si genera un errore di minimum underflow - che Python/numpy si limita a trascurare passando oltre senza alcun messaggio. Partendo con x₀=0,2 si evitano sia min. underflow che max. overflow senza dover inserire un controllo per |x|>2.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

iterazioni = 1000
transiente = 200

r_values = np.arange(-2.0, 0.25, 0.001)

dati_r = []                                   
dati_x = []

for r in r_values:
    x = 0.2                             
    for i in range(1, iterazioni):
        x = r + x * x
            if i > transiente:
            dati_r.append(r)
            dati_x.append(x)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(dati_r, dati_x, ',k', markersize=0.1)
plt.xlabel('r')
plt.ylabel('x')
plt.tight_layout()
plt.show()

Il codice non ha bisogno di molti commenti: si inizializzano le liste di r e x, che vengono costruite con due cicli for nidificati. Il resto è sintassi di matplotlib.

LA SITUAZIONE - PHARMA, INDUSTRIA, LICENZIAMENTI

La situazione è grossomodo questa:

 

Cioè quella già vista nei tempi peggiori (attorno al patent cliff 2012, per dire). Ma sembrerebbe che il ritmo delle ristrutturazioni stia calando:

Secondo un'analisi dei dati sui licenziamenti di Fierce Biotech, nel primo trimestre di quest'anno un totale di 33 aziende biofarmaceutiche ha annunciato licenziamenti o chiusure. Pur rimanendo elevato, questo numero è indicativo di una tendenza graduale al rallentamento dei tagli occupazionali, individuata da Fierce già nel settembre scorso.

Questa traiettoria discendente si era già manifestata con un analogo numero di 33 ondate di licenziamenti nell'ultimo trimestre del 2025, circa la metà dei 64 e 62 annunci registrati rispettivamente nel secondo e terzo trimestre dell'anno scorso.
Il 2025 è stato certamente un anno difficile, come dimostra una distinta analisi di Fierce Pharma: le 17 aziende farmaceutiche con un fatturato annuo di almeno 20 miliardi di dollari hanno complessivamente ridotto la propria forza lavoro di oltre 22.000 dipendenti nel corso dell'anno, mentre si avvicina un patent cliff da 300 miliardi.
Per contestualizzare adeguatamente gli ultimi dati, è però opportuno confrontarli con i primi trimestri degli anni precedenti. I 33 annunci del primo trimestre 2026 sono appena la metà dei 63 del corrispondente periodo del 2025, e significativamente al di sotto delle 57 e 58 ondate registrate nei primi trimestri del 2023 e del 2024.
Per trovare un livello analogo bisogna risalire alle 30 ondate di licenziamenti del primo trimestre 2022.

Da principio si pensava che la crisi occupazionale riguardasse solo le small molecules, come di solito succede in queste fasi, anche se le small molecules continuano a costituire la maggioranza della approvazioni FDA:

https://www.nature.com/articles/d41573-026-00012-w

Per andare nel dettaglio, si parla di questo:

https://drughunter.com/articles/2025-novel-small-molecule-fda-drug-approvals

E invece no, non si trattava solo di small molecules. La crisi occupazionale si è allargata alla vasta area dei farmaci biologici, dagli ADC (coniugati farmaco-anticorpo) alle terapie cellulari. 

Come al solito il capitalismo finanziario fa le sue scelte e sono le scelte più sbagliate. Ma chi fa tali scelte, come sempre, sarà al riparo dalle loro conseguenze. Come in tanti altri campi la storia si ripete, con gli  stessi identici meccanismi.

Personalmente nei tanti anni di lavoro che ho all'attivo ho visto (poche) decisioni corporate razionali sempre sopravanzate dalle decisioni che una razionalità industriale non la avevano. Uno dei casi storici eclatanti fu quando Merck mise nella lista degli asset da essere svenduti Keytruda, prima che fosse approvato. Per tacere del management GSK che volle comprare Sirtris contro il parere di quelli che in GSK avevano effettuato la due diligence.

Ma del resto pensate a un tipico caso di media grande impresa occidentale non public, cioè non quotata in borsa. E' spesso proprietà di un fondo di investimento e quando le cose vanno bene il fondo incassa dividendi. Ma quando le cose vanno male, tipo quando il tuo mercato di sbocco di sempre è governato d'un tratto da un branco di inqualificabili? Scatta lo stop loss, solo che non si parla di azioni ma di asset industriali. Un asset industriale, se non lo sapete, è principalmente fatto di persone.

Io non so se e quando questo periodo di vacche non magre, ma ridotte a scheletri, potrà continuare. Quello che vedo è che la maggior parte degli attori econimici, al riguardo, sta agendo come se non ci sarà un domani, o una ripresa.

L'industria farmaceutica è una cosa assai differente da quella dipinta da tanti, tanti che non hanno alcuna cognizione dell'oggetto di cui parlano. Ormai da quasi 30 anni, cioè da quando è diventata uno dei giocattoli della finanza, è estremamente volatile. Eppure l'industria farmaceutica occidentale è quella che tra cGMP e linee guida ICH garantisce che i cittadini occidentali abbiano farmaci rispodenti a un certo standard qualitativo, un standard alto. I governi che rimangono spettatori dell'ennesimo tentativo di suicidio di questa industria avallano un peggioramento dei livelli qualitativi dei farmaci destinati ai propri cittadini, cioè lavorano contro la salute pubblica delle proprie nazioni. E in un contesto di questo genere tutti i discorsi europei sulla ricostruzione di un'autonomia farmaceutica appaiono esattamente quello che sono: parole vuote.