Poco da fare, per arrivare all'immunità di gregge occorre ripartire da qua:se non si riparte da lì, ovvero se non avete metabolizzato il più semplice modello SIR è abbastanza inutile andare avanti.
Avevamo visto l'importanza di R: maggiore di uno, il numero degli infetti sta crescendo nel tempo, uguale a uno siamo al massimo dell'outbreak, minore di uno l'outbreak si sta esaurendo (e quindi ogni infetto provoca un numero di nuovi casi inferiore ad 1). Ora usiamo l'equazione modificata che introduce i suscettibili come frazione della popolazione, espressa da N. Ricordo: I infetti, S suscettibili, β velocità di propagazione dell'infezione, γ velocità di guarigione dall'infezione, t tempo.
In questo caso R diventa:
Quando tutta la popolazione è suscettibile, S=N e quindi
Quindi R0 è dato dal rapporto tra infettività e velocità di guarigione.
Quando la popolazione non è tutta suscettibile abbiamo Reff (reproduction number efficace):
Chiamiamo Sc la quota critica di suscettibili per cui Reff=1 (quindi al di sopra della quale il numero di infetti cresce nel tempo e al di sotto della quale il numero degli infetti si esaurisce nel tempo).
Se l'immunità viene conseguita solo tramite vaccinazione, chiamando H.I. la soglia di copertura vaccinale corrispondente all'immunità di gregge, abbiamo
da cui
Ed ecco il mistero svelato.
Nota bene: la cosa è ricavata con le premesse del modello SIR, e ipotizzando la vaccinazione con il 100% di efficacia e durata perenne. I valori che trovate tabulati sono quelli ricavati sul campo (dal rapporto tra infettività e velocità di guarigione, diciamo), e sono dati come intervalli perché non sono sempre uguali nello spazio e nel tempo.
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