ARMONICHE, DA PITAGORA ALLA MECCANICA QUANTISTICA

Premetto che in questo post ci dovrebbe essere moltissima matematica e invece l'ho ridotta al minimo del minimo possibile, quasi niente. In ogni caso proviamo ad iniziare.

Un monocordo

Si può dire che in occidente tutto cominciò con un monocordo, probabilmente meno elaborato dello strumento nell'immagine che rende comunque l'idea. Si dice che Pitagora, nel IV secolo avanti Cristo, passando davanti alla bottega di un fabbro ne udì provenire suoni diversi e si rese conto che martelli di dimensioni diverse producevano suoni diversi. Si racconta che quindi si mise a sperimentare con un monocordo e così scoprì le armoniche e i rapporti numerici che le definivano.

https://www.treccani.it/magazine/chiasmo/scienze_naturali_e_tecnologia/Armonia/armonia_pitagora.html

La tabella è moderna e raccontata così la questione può sembrare astratta. Per un esempio efficace c'è uno strumento che rende possibile un uso selettivo delle armoniche ed è l'organo (a canne) come è stato costruito dallinizio del '500 ai giorni nostri. In un organo i registri da 8 piedi forniscono l'armonica fondamentale, quelli da 4 piedi la prima armonica (l'ottava) e così via:

 

In realtà i pitagorici non usavano la notazione attuale (che arriverà a diffondersi a partire dal X secolo con Guido d´Arezzo) e neanche le nostre scale, però individuarono ottava, quarta e quinta giuste (1/2, 3/4, 2/3 rispetto alla fondamentale) e terza maggiore (4/5). Le frazioni si riferiscono alla lunghezza della corda (se viene bloccata a metà della sua lunghezza  e pizzicata si ottiene l´ottava, 1/2). Nell'antica Grecia la descrizione moderna del suono non esisteva, ma fu ai tempi dell´Impero Romano che Crisippo (III sec.), filosofo stoico, logico, fisico e matematico, ipotizzò che il suono fosse provocato da "onde di pressione". Il pitagorismo identificava di fatto musica e matematica. E quando i pitagorici parlavano di "armonia delle sfere" di fatto parlavano di rapporti numerici inerenti la loro reciproca posizione e il loro moto.

https://www.musicologica.it/pitagora-la-musica-la-matematica-e-larmonia-delle-sfere/

 

Considerando l'identità pitagorica tra matematica e musica non siamo particolarmente lontani da Galileo:

 

La filosofia naturale è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.

(Galileo Galilei, Il Saggiatore)

Se la natura del suono (onde meccaniche che si propagano in un mezzo) verrà sviscerata tra XVII e XIX secolo assieme alla relativa matematica, quando oggi si parla di armoniche (siano riferite a suoni o frequenze elettromagnetiche) continuano a saltare fuori 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, le frazioni di Pitagora e della sua scuola.

https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic

Già, se oggi un armonica è una qualsiasi onda sinuisodale la cui frequenza è un multiplo intero e positivo della frequenza di un segnale periodico, guardate a destra sulla tabella: i primi quattro termini continuano ad essere 1/2,2/3,3/4, 4/5. Noterete che si tratta dei primi termini di questa successione:

 

Se il segnale periodico è un'onda elettromagnetica, le sue armoniche sono i termini di una successione in cui ogni armonica corrisponde ad un n (numero naturale) e la cui energia cresce con n, perché la sua frequenza cresce con n. Se la cosa vi suona oscura ricordiamo che l'energia di un fotone può essere rappresentata come  hν, dove h  è la costante di Planck e ν è la frequenza della radiazione (Legge di Planck, appunto). E questo rimane nelle basi della meccanica quantistica.

 

Andiamo a vedere il classico problema della particella nella scatola:

https://www.researchgate.net/figure/Particle-in-a-box-wavefunctions_fig2_1887675

ψ(x) è la funzione d'onda, quindi descrive una densità di probabilità inerente la posizione della particella in x. |ψ(x)|² è invece la probabilita di trovare la particella (lo spazio del sistema ha una sola dimensione, x). n è il numero quantico per gli stati della particella. E quello che magari avrete già notato è che ψ è una sinusoide la cui frequanza continua a seguire la successione pitagorica, con i numeri quantici che definiscono l'ordine delle armoniche. n, numero naturale, è concettualmente alla base della meccanica quantistica in quanto rende conto della quantizzazione dell'energia del sistema. Perché è bene ricordare che la meccanica quantistica non prende il nome da qualcosa prodotto da Schroedinger o Dirac o Bohr. Alla fine del XIX secolo ci si rendeva conto che non esisteva una fisica in grado di spiegare le linee degli spettri di emissione. E ricordo che Natura non facit saltus continuava a permeare i paradigmi scientifici dell'epoca. Fu Max Planck a formalizzare il fatto che invece no, nel microscopico la natura i salti li faceva eccome ma non erano salti a casaccio: erano salti ad energia quantizzata. 

Ma ritorniamo sulla particella nella scatola e su una sua fondamentale proprietà di ψ: passa da valori positivi a valori negativi, il che non avrebbe un significato particolare se non che passando da valori positivi a valori negativi giocoforza assume in alcuni punti intermedi valore 0. E se la densità di probabilità in quel punto è zero è zero anche la probabilità. Diamo un'occhiata a questi punti: 0 nello stato fondamentale, 1 per n=2, 2 per n=3... in generale questi punti sono in numero di n-1. Tenetelo presente perché è importante.

Ora consideriamo un elettrone in un atomo di idrogeno: dovreste sapere (ma molti non ci arrivano) che non può essere descritto come una particella, ma come un´onda con la sua funzione d´onda ψ. Ok, è una questione di operatori e autovalori, ma a questo giro sorvoliamo e sottolineiamo il fatto che i valori di energia che l'elettrone può assumere sono quantizzati (come per la particella nella scatola) e determinati da n, numero quantico principale. Però, dirà qualcuno, l´elettrone in un atomo non è una corda che vibra e neanche una particella in una scatola. Chiaro che non lo è. Nello stato fondamentale, quello dell'orbitale 1s, è un´onda sferica (la distribuzione sferica della carica attorno al nucleo, che è sia un centro di attrazione che un centro di simmetria,  minimizza l'energia dello stato). L'elettrone è delocalizzato in accordo al principio di indeterminazione di Heisenberg, determinata la sua energia non possiamo conoscere la sua posizione: ci dobbiamo accontentare della densità di probabilità inerente la sua presenza nello spazio attorno al nucleo. Cosa succede se gli viene fornito un quanto di energia hν corrispondente alla differenza tra lo stato con n=1 e lo stato con n=2? Passerà nel primo orbitale disponibile per n=2, cioè 2s:

 

Sebbene continui ad essere sferico 2s possiede una superfice nodale (sferica) al suo interno, una superfice dove il valore di ψ  è 0.  Con i livelli energetici successivi le cose si complicano ma resta il fatto che il numero delle superfici nodali degli orbitali continua ad essere n-1, quindi la successione degli orbitali s è isomorfa alla successione delle ψ della particella nella scatola, cioè isomorfa ad una successione di armoniche.

Quando si parla di struttura atomica si parla di armoniche sferiche. La matematica delle armoniche sferiche entra in gioco con il numero quantico secondario l.. Per gli orbitali s I=0 (si tratta di oggetti con simmetria sferica senza direzioni angolari preferenziali). Per l≠0 le cose si complicano e la matematica pure, ma un colpo d'occhio alle immagini dovrebbe dare l'idea.

Questa è una rapprentazione grafica delle armoniche sferiche (da wikipedia en):

E questa è la raffigurazione degli orbitali atomici, sempre da wiki:

L'orientamento degli orbitali nello spazio è importante ed è importante che per le superfici nodali continui a valere la regola che abbiamo visto per la particella nella scatola: il loro numero cresce con n ed è n-1 per ogni valore di l. Queste non sono considerazioni puramente teoriche. Per esempio proprio per queste proprietà degli orbitali 1p nei composti aromatici il legame π, prodotto della combinazione di orbitali p dei singoli atomi di carbonio, forma due "nuvole di elettroni" sopra e sotto il piano della molecola. Le proprietà degli orbitali molecolari  π determinano la reattività di questa classe di composti. Le stesse considerazioni possono essere estese per esempio agli alcheni, a aldeidi, chetoni, acidi carbossilici e al legame peptidico, che tiene insieme gli amminoacidi di cui sono fatte le proteine.

L'immagine viene da https://chemistry.stackexchange.com/

Abbiamo visto come la successione delle armoniche di Pitagora arrivi a persistere fin nella meccanica quantistica. E una domanda dovrebbe venire spontanea: tutto ciò è una proprietà intrinseca degli oggetti che osserviamo e misuriamo o della matematica che usiamo per descriverli? Perché alcuni fenomeni, come il rilassamento dello spin di un protone in un campo magnetico, possono essere descritti sia clasicamente che con la meccanica quantistica: stesso fenomeno, matematiche diverse. Pitagora, Cassiodoro e Galileo avevano ragione oppure no perché neanche si ponevano il problema? In fin dei conti la scoperta delle armoniche da parte di Pitagora ha come metro l'uomo: sono armoniche le frequenze che suonano bene assieme per l'orecchio umano. Un'intelligenza non umana concepirebbe la stessa meccanica quantistica che conosciamo?

La cosa veramente miracolosa è che, come con i composti aromatici, per molti oggetti questo modello, erede senz'altro di Galileo ma anche di Pitagora, costituisce un sistema coerente e assiomatico, con cui i fenomeni possono essere predetti e le cui predizioni trovano poi una conferma sperimentale - che magari arriva 100 anni dopo come nel caso del legame chimico con un solo elettrone. Questo non riguarda l'universo nella sua totalità, ma un sottoinsieme non piccolo di quanto possiamo osservare e misurare. L'esempio del benzene dovrebbe far capire perché per la chimica moderna l'orbitale atomico è fondante e fondamentale: senza orbitali atomici non si spiega il legame chimico e quindi tutto il resto.

Questo significa che tutto quanto in cielo e in terra risponde a leggi musicali (matematiche)? Non direi. Direi invece che è vero per la rappresentazione della natura come la noi la percepiamo dal nostro punto di osservazione con gli strumenti che abbiamo a disposizione, che non è esattamente la stessa cosa. Però funziona ugualmente quanto basta il più delle volte.

P.S.: Non posso che rigraziare Marco Casolino per due suoi video che sono stati il punto di partenza per questo post. Il primo è questo:

E questo è il secondo: