LA TRAIETTORIA NON ESISTE - 3 - CHAOS RISING

 

 

Fin qua ci siamo mossi tra chimica fisica, matematica, codice: il territorio. Ma tutto questo ebbe anche una mappa culturale. Prigogine e Stengers fornirono le fondamenta con Order Out Of Chaos (prima edizione in francese come La Nouvelle Alliance nel 1979). L'edizione americana, grazie alla prefazione di Alvin Toffler ebbe una certa risonanza, considerando che si trattava di un testo che parlava di entropia, strutture dissipative, biforcazioni e freccia del tempo. E Mandelbrot nel 1982 pubblicò The Fractal Geometry Of Nature, che ebbe una sorte simile a Order Out Of Chaos. Ma fu James Gleick che nel 1987 con Chaos, Making A New Science provvide alla narrativa, anzi, alla leggenda, vendendo più di un milione di copie:

Mitchell Feigenbaum era un caso insolito. Aveva all’attivo esattamente un articolo pubblicato e non stava lavorando a nulla che sembrasse particolarmente promettente. I suoi capelli erano una criniera arruffata che si allungava all’indietro dalla sua ampia fronte, nello stile dei busti dei compositori tedeschi. I suoi occhi erano vivaci e appassionati. Quando parlava, sempre rapidamente, tendeva a omettere articoli e pronomi in un modo vagamente mitteleuropeo, benché fosse originario di Brooklyn. Quando lavorava, lo faceva in modo ossessivo. Quando non poteva lavorare, camminava e pensava, di giorno o di notte, e la notte era la migliore di tutte. La giornata di ventiquattro ore gli sembrava troppo limitante. Tuttavia, il suo esperimento di quasiperiodicità personale giunse al termine quando decise che non poteva più sopportare di svegliarsi al tramonto, come inevitabilmente accadeva ogni pochi giorni.

All’età di ventinove anni era già diventato un sapiente tra i sapienti, un consulente ad hoc al quale gli scienziati si rivolgevano per qualsiasi problema particolarmente ostico, quando riuscivano a trovarlo. Una sera arrivò al lavoro proprio mentre il direttore del laboratorio, Harold Agnew, se ne stava andando. Agnew era una figura influente, uno degli originari allievi di Oppenheimer. Aveva sorvolato Hiroshima a bordo di un aereo con strumenti di rilevazione che accompagnava l’Enola Gay, fotografando lo sgancio del primo prodotto del laboratorio.

«So che sei davvero intelligente», disse Agnew a Feigenbaum. «Se sei così intelligente, perché non risolvi proprio la fusione laser?»

Persino gli amici di Feigenbaum si chiedevano se avrebbe mai prodotto un lavoro suo. Per quanto fosse disposto a fare magie improvvisate con le loro domande, non sembrava interessato a dedicare le proprie ricerche a un problema che potesse dare risultati concreti. Pensava alla turbolenza nei liquidi e nei gas. Pensava al tempo - scorre in modo fluido in avanti o procede a scatti discreti come una sequenza di fotogrammi di un film cosmico?...

...Quando Mitchell Feigenbaum iniziò a occuparsi del caos a Los Alamos, era uno di una manciata di scienziati sparsi qua e là, per lo più sconosciuti l’uno all’altro. Un matematico di Berkeley, in California, aveva formato un piccolo gruppo dedicato a creare un nuovo studio dei “sistemi dinamici”. Un biologo delle popolazioni all’Università di Princeton stava per pubblicare un appello appassionato affinché tutti gli scienziati esaminassero il comportamento sorprendentemente complesso che si nasconde in alcuni modelli semplici. Un matematico dedicato alla geometria che lavorava per l’IBM cercava una nuova parola per descrivere una famiglia di forme – frastagliate, aggrovigliate, scheggiate, tortuose, fratturate – che considerava un principio organizzatore della natura. Un fisico matematico francese aveva appena sostenuto, in modo controverso, che la turbolenza nei fluidi potesse avere qualcosa a che fare con una strana e infinitamente aggrovigliata astrazione che chiamava “strano attrattore” .

Il matematico a Berkeley era Stephen Smale, che ricevette la Medaglia Fields nel 1966, il biologo a Princeton (in realtà un un fisico prestato alla biologia delle popolazioni) era Lord Robert May, il matematico studioso di geometria Benoit Mandelbrot e il fisico francese David Ruelle (Feigenbaum lo avete incontrato qui). Nomi totalmente dimenticati, in Italia, dal recente "discorso sulla scienza". Occorre notare che la narrazione di Gleick non includeva Ilya Prigogine se non nel capitolo con l'apparato bibliografico Notes And Further Readings, dove si cita Order Out Of Chaos. Questo fatto non fu senza conseguenze: se effetto farfalla e frattali entrarono appieno nell'immaginario pop e se il concetto di strano attrattore ebbe una forte ascendenza sul cyberpunk letterario, in quel movimento Bruce Sterling fu l'unico a traghettare nella fiction il Nobel per la Chimica russo-belga creando il concetto di balzo prigoginico (un punto di biforcazione nell'evoluzione dell'umanità, o meglio della postumanità, nel sistema solare).

 

Ma andiamo per ordine. Alan Moore si era da poco preso un posto definitivo nella storia del fumetto grazie a Watchmen (con Dave Gibbons, 86-87), quando annunciò un progetto con il nome (provvisorio) The Mandelbrot Set, nell'estate del 1988. Sarebbe stato un progetto indipendente e il disegnatore sarebbe stato Bill Sienkiewicz, che si era affermato come uno dei maggiori artisti nel campo con New Mutants (1984-1985), Daredevil: Love and War (su scenegiatura di Frank Miller, 1986), Elektra: Assassin (su sceneggiatura di Frank Miller, 1986-1987), nonché con l'immenso Stray Toasters (1988). I primi due numeri del nuovo progetto uscirono nel 1990 per l'editrice indipendente Mad Love di Alan Moore.

Big Numbers, di Moore e Sienkiewicz, che avrebbe dovuto intitolarsi The Mandelbrot Set, uscì in una forma inusuale. Albo quadrato di 10 pollici per 10 pollici, 40 pagine, spillato. In bianco e nero, o meglio in sfumature di grigio. La griglia di vignette di Watchmen (3x3) era stata espansa in una 4x3, grazie al formato insolito. E le prime otto pagine del primo numero, vignetta dopo vignetta, senza parole, scandivano il sogno di una donna addormentata al suo posto su un treno locale. Un sogno inquietante, mentre nel terreno incolto adiacente la ferrovia un ragazzino cerca qualcosa da gettare contro il treno, individua un pesante bullone e lo scaglia, infrangendo il vetro del finestrino dello scompartimento dove è la donna. Una buona descrizione dell'opera per come la conosciamo la mutuo da qui: una società americana costruisce un centro commerciale ai margini della città di Hampton e sconvolge la vita di tutti coloro che ne vengono coinvolti. Questo è il punto di partenza, ma in realtà parla di molto altro: della follia, del mondo quantistico e della teoria del caos nella vita quotidiana.

Nella copertina del primo numero l'insieme di Mandelbrot sopravviveva nel punto sulla "i" di "Big". Della serie uscirono solo due numeri, il terzo, da un certo punto di vista postumo rispetto al progetto iniziale (19 anni dopo) , uscì online nel 2009. Ci sono alcuni megabyte on line sulle vicende della serie, sul perché e il per come non venne finita. Se avete voglia e pazienza potete leggervi Last War On Albion, di Elizabeth Sandifer su Eruditorum Press.

 

Moore era un appassionato lettore di Scientific American e New Scientist (quelli dell'epoca, poco a che fare con i prodotti editoriali odierni). Aveva letto GEB di Douglas Hofstadter e Chaos. Making A New Science di Gleick. Non aveva letto The Fractal Geometry Of Nature di Mandelbrot ma ne aveva letto in Gleick. E aveva letto, evidentemente,  Mind Tools di Rudy Rucker.

 

 

Si tratta di una doppia, esplicita citazione: Mind Tools e "Life is a fractal in Hilbert Space", titolo di uno dei capitoli del libro, con tutta probabilità quello che ispirò il concetto dell'opera a Moore (che accennerà alla cosa 20 anni dopo in una intervista):

Perché descrivo esattamente questo tipo di costruzione software come un frattale? Il motivo è che qualsiasi parola nel pattern è davvero centrale quanto qualsiasi altra parola. In ogni posizione ci sono moltissimi rami che si diramano, ed è proprio così che ci si sente, no? Se qualcuno vuole parlarmi di me stesso, posso cominciare praticamente da qualsiasi punto. In effetti, invece di far partire sempre il programma con la sigaretta accesa alle 4:08, sarebbe ugualmente valido farlo partire da una posizione casuale, o dai rami che si dipartono da qualsiasi parola particolare che il lettore voglia selezionare.

Quanti rami si dipartiranno da ogni parola chiave? Moltissimi. Se si prendono in considerazione qualità sempre più raffinate, non c'è fine alle domande che si possono porre su un concetto semplice come "SIGARETTA." Qualsiasi concetto nel mio mondo è in relazione con molti, moltissimi altri concetti. Spingendo un po' oltre, potremmo persino dire che in ogni punto ci sono infiniti rami. Come spiegherò nella sezione successiva, i matematici usano l'espressione "spazio di Hilbert" per indicare un tipo comunemente usato di spazio a infinite dimensioni, quindi se pensiamo a ciascuna linea di indagine (direzione di ramo) come a qualcosa di simile a una dimensione, ha senso parlare del mio frattale di vita come di un frattale nello spazio di Hilbert.

Visto dall'esterno, sono davvero la stessa cosa del mio frattale di vita completo. All'interno della mia vita, ho la sensazione che il tempo passi, di essere vivo, di avere libero arbitrio, e così via, ma in termini di ciò che posso effettivamente dire della mia vita, sono lo stesso del mio software, lo stesso del mio frattale di vita. Lo spazio di Hilbert, con tutte le sue dimensioni, ha posto per molte cose. Ha posto per il tuo frattale di vita così come per il mio; ha posto per il frattale di vita di tutti. È evidente che questi frattali si connetteranno in certi punti, per esempio nei punti in cui le persone interagiscono, o nei punti in cui le persone condividono credenze comuni. Tutto si somma in un unico grande frattale di vita universale!

Rudy Rucker non protestò per la citazione. D'altra parte, accademico e atipico divulgatore, probabilmente era più affezionato al suo essere romanziere e in particolare all'essere uno scrittore cyberpunk.

Perché il nome originale della serie non fu mantenuto? Moore, prima di procedere, contattò Mandelbrot per chiedere il permesso di intitolare la serie con il suo nome.
Mandelbrot rispose con una lettera molto gentile in cui diceva che in linea di principio era favorevole all'uso della matematica frattale per scopi educativi o di intrattenimento.
Tuttavia, in quel periodo (fine anni '80) c'era una controversia interna nel mondo accademico della matematica. Alcuni matematici più conservatori criticavano duramente i frattali e accusavano Mandelbrot stesso di essere un egocentrico che cercava esposizione mediatica. Usare il suo nome per un fumetto avrebbe prestato il fianco ad ulteriori accuse nei suoi confronti. La cosa è testimoniata in una vignetta nel lavoro autobiografico di Eddie Campbell Alec - The years have pants. Campbell aveva a lungo lavorato con Moore a From Hell e quindi era persona informata dei fatti.

Lo zenit del caos nella mappa della cultura occidentale fu raggiunto con l'uscita del film Jurassic Park (1993) di Steven Spielberg, tratto dall'omonimo romanzo di Michael Crichton (1990). Le parti del romanzo erano presentate come iterazioni di un frattale:

Il frattale è il Drago di Heighway ma Crichton non lo usò in modo esatto. Resta il fatto che in Crichton il protocollo, la tecnica, la scienza sono l'infrastruttura in cui i personaggi si muovono. Ed è, fin da The Andromeda Strain, una scienza iperreale (per esigenze narrative) ma con le incertezze, l'incognito e gli outlier. Da questo punto di vista la maggior parte del corpus della sua narrativa è più realistica della maggior parte dell'attuale divulgazione. Con il suo background Crichton non poteva rimanere indifferente al senso delle teorie del caos e dei frattali.

Stiamo parlando di segni? Chiaramente sì. Tra la metà degli anni '80 e i primi '90 le teorie del caos finirono per diventare un oggetto pop. I frattali erano cool, Escher era cool, finirono su t-shirt, poster, prodotti da cartoleria e tutto il resto. "Effetto farfalla" diventò una locuzione pop usata più o meno a sproposito. Tutto questo aveva natura simulacrale, cioè era privo di referente reale? Sì e no. Inutile provare a sostenere che senza la sua immagine il Mandelbrot Set conserva la stessa quantità di significato, un significato non contenuto in z_n+1=z_n²+c. 

Crichton, Moore, gli autori del cyberpunk usavano l'immaginario di teorie del caos e frattali. Lo facevano per produrre fiction (arte, se volete), una fiction ricca di senso. Le fondamenta di quel senso erano la complessità. E "complessità" come fondamenta è cosa del tutto altra da "complessità" come decorazione. Nel discorso pubblico attuale sulla scienza "complessità" è pura decorazione nel senso di "accessoria". "La scienza dice ed è complesso" mette l'accento sulla "verità scientifica" e in questo contesto "complessità" è accessorio per significare "i più non possono capire ma si devono fidare". 
Non solo. La mappa culturale delle teorie del caos segnò un periodo in cui il demone di Laplace era stato largamente espunto dalla cultura occidentale: anche se potessimo conoscere le condizioni iniziali per ogni frammento dell'universo, non potremmo determinarne l'esito perché il minimo errore nella determinazione in quelle condizioni produrrebbe risultati divergenti. Una rivendicazione delle ragioni della complessità che rimanda a citazioni classiche: There are more things in heaven and earth, than are dreamt of in your philosophy.

 

Ci sono contesti a cui è spesso associato il termine "decorazione", contesti dove la decorazione non è accessoria ma forma, quindi significato, per esempio il gotico fiammeggiante o il barocco. Ma è soprattutto nella musica barocca che l'elemento decorativo, fin dall'abbellimento (più che il trillo la varietà dei mordenti), è forma e significato. Il tema con variazioni e la variazione su tema, nelle loro varie specie, sono esempi  in cui l'iterazione genera struttura.

(to be continued)

LA TRAIETTORIA NON ESISTE - 2 - ITERAZIONI E STRUTTURA

Particolare dell'insieme di Mandelbrot ottenuto con Mathematica e MandelbrotSetPlot()

La complessità dell'insieme di Mandelbrot è straordinaria, tanto più considerando che la definizione di questo insieme è, per gli standard delle definizioni matematiche, sorprendentemente semplice. È anche vero che la struttura generale dell'insieme non è molto sensibile alla forma algebrica precisa della trasformazione z → z²+c che abbiamo scelto. Molte altre trasformazioni complesse iterate (ad esempio z → z³+iz²+c) producono strutture straordinariamente simili (a condizione di scegliere un numero di partenza appropriato — forse non 0, ma un numero il cui valore è caratterizzato da una regola matematica chiara per ciascuna scelta appropriata di trasformazione). Esiste, in effetti, una sorta di carattere universale o assoluto in queste strutture "di Mandelbrot" riguardo alle trasformazioni complesse iterate. Lo studio di tali strutture costituisce una disciplina a sé nell'ambito della matematica, denominata sistemi dinamici complessi.
(Roger Penrose, La mente nuova dell'Imperatore, 1989)

Le immagini dell'insieme di Mandelbrot che vedete sono immagini nel piano complesso (o piano di Gauss) dove l'ascissa è la parte reale del numero e l'ordinata la parte immaginaria. 

L'insieme di Mandelbrot fu ricavato per la prima volta nel 1978 da Robert W. Brooks e Peter Matelski, al Thomas Watson Research Institute di IBM, con un programma in Fortran. Viene fuori da una equazione apparentemente identica da quella mappa quadratica:

Ma in questo caso z è un numero complesso. E questo, all'epoca, in teoria, non costituiva un problema con il Fortran, che supportava il tipo di dato COMPLEX fin dal 1962. In teoria, perché un computer lavora solo con numeri reali, quindi COMPLEX veniva tradotto a livello di compilazione, calcolando il modulo del numero complesso |z| = √(x² + y²). Una traduzione onerosa per i mainframe IBM di quei tempi, per cui la radice quadrata era un'operazione machine intensive, e un problema rilevante in un programma che calcolava decine di milioni di punti o più. Quindi probabilmente fu usata a livello di codice una traduzione dal piano complesso al piano cartesiano per calcolare la "soglia di fuga", cioè quella soglia al di sopra della quale si hanno successioni divergenti. Per la mappa quadratica la soglia è |x|=2, in questo caso diventa x²+y²=4 (questa è un'ipotesi con qualche fondamento, non c'è letteratura al riguardo).

Mandelbrot set ottenuto con Mathematica usando l'escape-time algorythm

L'insieme di Mandelbrot ha corrispondenze con i punti di biforcazione del diagramma della mappa quadratica:

Da wikipedia

L'insieme di Mandelbrot è forse il caso più estremo in cui i risultati non sarebbero stati possibili senza i computer dell'epoca. Parlando di teorie del caos e dinamiche governate da feedback, Poincaré, Kermack e MacHendrick, Lotka e Volterra con l'analisi matematica, le equazioni differenziali (ed eventualmente regoli calcolatori e tavole dei logaritmi) non si sarebbero potuti spingere nei territori esplorati da Lorenz, May, Mandelbrot, Prigogine. Per questo motivo in questa serie di post e nella precedente Feedback, Caos ho inserito codice nelle appendici: è un modo per dare al lettore l'occasione di guardare dentro gli ingranaggi di queste scoperte.

E' impossibile non notare la ricchezza e l'incredibile varietà di dettagli del perimetro del Mandelbrot Set. Ma niente di tutto questo era prevedibile a priori da z_n+1=z_n²+c, come nel caso delle biforcazioni per la convezione di Benard non è possibile stabilire a priori la strada che il sistema prenderà. Per il Mandelbrot Set, come per gli altri frattali, la struttura non è nell'algoritmo di base, ma nelle sue iterazioni. La struttura è nel processo.

Credo che il modo migliore per concludere questa seconda puntata sia con le parole di Mandelbrot stesso:

F. J. Dyson ha offerto un riassunto eloquente di questo mio tema.

"Frattale è una parola inventata da Mandelbrot per riunire sotto un'unica denominazione una vasta classe di oggetti che hanno [svolto]... un ruolo storico... nello sviluppo della matematica pura. Una grande rivoluzione di idee separa la matematica classica del XIX secolo dalla matematica moderna del XX. La matematica classica affondava le sue radici nelle strutture geometriche regolari di Euclide e nella dinamica continuamente evolutiva di Newton. La matematica moderna ebbe inizio con la teoria degli insiemi di Cantor e la curva riempitiva dello spazio di Peano. Storicamente, la rivoluzione fu imposta dalla scoperta di strutture matematiche che non si adattavano agli schemi di Euclide e Newton. Queste nuove strutture furono considerate... 'patologiche,'... come una 'galleria di mostri,' affini alla pittura cubista e alla musica atonale che stavano sconvolgendo i canoni estetici nelle arti più o meno nello stesso periodo. I matematici che crearono i mostri li consideravano importanti nel dimostrare che il mondo della matematica pura contiene una ricchezza di possibilità che va ben oltre le semplici strutture che essi vedevano nella Natura. La matematica del Novecento fiorì nella convinzione di aver trasceso completamente i limiti imposti dalle sue origini naturali.

"Ora, come Mandelbrot fa notare,... la Natura ha giocato un tiro mancino ai matematici. I matematici del XIX secolo potevano difettare di immaginazione, ma la Natura no. Le stesse strutture patologiche che i matematici inventarono per liberarsi dal naturalismo ottocentesco si rivelano essere intrinseche agli oggetti familiari che ci circondano."

In breve, ho confermato l'osservazione di Blaise Pascal secondo cui l'immaginazione si stanca prima della Natura. ("L'imagination se lassera plutôt de concevoir que la nature de fournir.")

Ciononostante, la geometria frattale non è una semplice "applicazione" della matematica del XX secolo. È un nuovo ramo nato tardivamente dalla crisi della matematica iniziata quando duBois Reymond nel 1875 riferì per primo di una funzione continua non differenziabile costruita da Weierstrass (Capitoli 3, 39 e 41). La crisi durò approssimativamente fino al 1925, con Cantor, Peano, Lebesgue e Hausdorff come protagonisti principali. Questi nomi, insieme a quelli di Besicovitch, Bolzano, Cesàro, Koch, Osgood, Sierpiński e Urysohn, non si incontrano ordinariamente nello studio empirico della Natura, ma sostengo che l'impatto del lavoro di questi giganti trascenda di gran lunga la portata originariamente prevista. Mostro che dietro le loro creazioni più ardite, e a loro insaputa e a insaputa di diverse generazioni di seguaci, si celano mondi di interesse per tutti coloro che celebrano la Natura cercando di imitarla.

Ancora una volta, siamo sorpresi da ciò che diverse occorrenze passate avrebbero dovuto portarci ad aspettarci: "il linguaggio della matematica si rivela irragionevolmente efficace nelle scienze naturali..., un dono meraviglioso che non comprendiamo né meritiamo. Dovremmo esserne grati e sperare che rimanga valido nella ricerca futura e che si estenda, nel bene e nel male, con nostra soddisfazione anche se forse anche con nostro sconcerto, a vasti rami del sapere" (Wigner 1960).

(Benoit Mandelbrot, The fractal geometry of Nature, 1983)

 

APPENDICE

Degno di nota il fatto che Brooks e Matelski nel 1978 resero pubblico il primo set di Mandelbrot, uscito da una stampante a aghi, ma non fecero altrettanto con il codice sorgente né lo inclusero nel loro intervento a un congresso, poi pubblicato nell'81 (The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2, C), in Riemann Surfaces and Related Topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference).

Non solo il FORTRAN IV aveva il tipo di dato COMPLEX, ma non era una buona idea usarlo in un caso del genere, il linguaggio aveva una gestione dei cicli molto rigida del genere DO... IF... GOTO... (WHILE sarebbe arrivato dopo e FORTRAN non ha mai avuto cicli for come il C o Python). Neanche Mandelbrot pubblicò mai il codice sorgente. Ci sono stati tentativi di ricostruire quel codice, ma sono appunto ricostruzioni a posteriori non confermate. L'unica cosa abbastanza sicura è che usasse quello che poi è stato definito escape-time algorythm, per la prima volta pubblicato su Scientific American nel 1985 - e il programma era scritto in BASIC (A.K. Dewdney, Computer Recreations: A computer microscope zooms in for a closer look at the most complicated object in mathematics, 1985). E includeva la condizione di fuga: iterazione z = z² + c fino a quando |z|² < 4, la stessa che si ritiene usata da Brooks e Matelski.
Nel caso della mappa quadratica ho eluso la soglia di fuga scegliendo x₀=0.2, per mostrare l'isomorfismo con il codice per il diagramma di biforcazione della mappa logistica. In questo caso, anche per aderenza alla storia, la condizione di fuga è inclusa nel codice. Il codice è stato prototipato con Mathematica e poi scritto in Python.

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def mandelbrot(c, max_iter):
    z = 0
    for n in range(max_iter):
        if abs(z) > 2:                            #la condizione di fuga
            return n
        z = z**2 + c                              #la mappa quadratica
    return max_iter

max_iter = 100

xs = np.arange(-2.0, 1.0, 0.005)                  # Range delle coordinate 
ys = np.arange( 1.5, -1.5, -0.005)                # nel piano di Gauss e passo

grid = np.array([
    [mandelbrot(x + 1j*y, max_iter) for x in xs]  #j l'unità immaginaria in Python
    for y in ys                                   #grid costruisce la matrice dei punti
])

plt.figure(figsize=(12, 8))
plt.imshow(grid, cmap="inferno", interpolation="nearest")
plt.axis("off")
plt.tight_layout()
plt.savefig("mandelbrot.png", dpi=150)            #salva l'immagine in un file
plt.show()

Python è un linguaggio interpretato, si possono assegnare i tipi di dati e supporta il tipo complex. Ma se i tipi non vengono dichiarati assegna automaticamente il tipo di dato e non ha problemi a gestire abs(z) con z numero complesso senza che sia esplicitamente dichiarato come tale. Python oggi restituisce il risultato in 6,5 secondi (Python 3, Windows 10 su un i5-7300 2.60 GHz) quando al  FORTRAN IV compilato di fine anni 70 serviva probabilmente più di un'ora.

LA TRAIETTORIA NON ESISTE - 1 - "IL SISTEMA SCEGLIE"

La distanza dall'equilibrio diventa un parametro essenziale nella descrizione della natura, analogamente alla temperatura nella termodinamica dell'equilibrio. Abbassando la temperatura, osserviamo una successione di transizioni di fase attraverso vari stati della materia. Ma nella fisica del non-equilibrio la varietà dei comportamenti è molto maggiore. Abbiamo considerato la chimica ai fini di questa discussione, ma processi analoghi associati alle strutture dissipative di non-equilibrio sono stati studiati in molti altri campi, tra cui l'idrodinamica, l'ottica e i cristalli liquidi.

Guardiamo ora più da vicino l'effetto critico delle fluttuazioni. Come abbiamo visto, le fluttuazioni vicino all'equilibrio sono innocue, ma lontano dall'equilibrio svolgono un ruolo centrale. Non solo abbiamo bisogno dell'irreversibilità, ma dobbiamo anche abbandonare la descrizione deterministica associata alla dinamica. Il sistema "sceglie" uno dei possibili rami disponibili quando si trova lontano dall'equilibrio. Ma nulla nelle equazioni macroscopiche giustifica la preferenza per una soluzione rispetto a un'altra. Ciò introduce un elemento probabilistico irriducibile. Una delle biforcazioni più semplici è la cosiddetta "biforcazione a forcone" (pitchfork bifurcation) rappresentata in Figura 2.4, dove λ = 0 corrisponde all'equilibrio.

Il ramo termodinamico è stabile da λ = 0 a λ = λ_c. Oltre λ_c diventa instabile, e emerge una coppia simmetrica di nuove soluzioni stabili. Sono le fluttuazioni a decidere quale ramo verrà selezionato. Se si sopprimessero le fluttuazioni, il sistema si manterrebbe in uno stato instabile.

(Ilya Prigogine, The End Of Certainty, 1997)

(Prigogine e il suo lavoro sono nel DNA di questo blog fin dal principio, qui e qui)

In precedenza abbiamo osservato il diagramma di biforcazione della mappa logistica. In quel caso i due bracci dopo una biforcazione rappresentano i valori estremi tra cui la popolazione oscilla. In questo caso la biforcazione ha un altro significato: il sistema si colloca su una o un'altra delle due traiettorie e si tratta di traiettorie stabili. Il processo ha una direzione, da sinistra a destra, è irreversibile, non è possibile stabilire a priori quale sarà la traiettoria "scelta" dal sistema.

Non si tratta di filosofia travestita da termodinamica. Dinamiche di questo genere riguardano una gran quantità di diversi fenomeni fisici. Quello preferito da Prigogine come esempio era la convezione di Bénard.

Prendete una padella. Riempitela di olio. Scaldate dal basso, lentamente, con una piastra elettrica. Per piccole differenze di temperatura tra il fondo e la superficie il calore si trasferisce per conduzione - molecola per molecola, senza struttura macroscopica visibile. Il sistema è in uno stato stazionario stabile. Se perturbate leggermente, il sistema torna da solo allo stato di partenza.
Aumentate la differenza di temperatura. A un certo valore critico - il numero di Rayleigh critico - avviene una transizione improvvisa: si formano celle convettive ordinate, visibili, geometricamente regolari. Il fluido caldo sale al centro di ogni cella, si raffredda alla superficie, scende ai bordi. Struttura che emerge spontaneamente dal caos termico.

La transizione improvvisa dalla conduzione alla convezione è un punto di biforcazione nello spazio delle fasi del sistema. La convezione nelle celle di Bénard ha ovviamente un verso e una singola cella potrà ruotare in senso orario o antiorario (quella adiacente ruoterà in senso opposto). Rispetto alla singola cella, i due rami del diagramma dopo il punto di biforcazione rappresentano i due stati alternativi (rotazione oraria o antioraria). Ci sono due differenti aspetti che riguardano l'irreversibilità di questo sistema.

In primo luogo quando inizia la convezione la viscosità del fluido si oppone al movimento. Parte dell'energia interna del fluido (fornita dalla fonte calda) viene usata per contrastare l'attrito dovuto alla viscosità. Il forte aumento della dissipazione viscosa corrisponde a un forte aumento nella produzione di entropia, che quindi è la condizione per l'ottenimento della struttura ordinata metastabile: si tratta di una struttura dissipativa - così Prigogine battezzò fenomeni in cui strutture ordinate vengono mantenute tramite produzione di entropia. 

In secondo luogo, se raffreddate il sistema per poi portarlo di nuovo oltre i punto di biforcazione sarà quasi impossibile ottenere lo stesso insieme di celle ognuna con il precedente verso di rotazione: il processo è irreversibile.

Il diagramma di biforcazione per la convezione di Bénard è dato dalla mappa quadratica:


 

Noterete la somiglianza con la mappa logistica e infatti il diagramma di biforcazione è piuttosto simile:

Cambia l'intervallo di valori di r per cui il grafico è significativo, rispetto alla mappa logistica. E cambiano altre cose (x₀). In particolare il grafico è stato ottenuto scegliendo un x₀ tale da escludere i valori di x con valore assoluto maggiore di 2 mantenendo l'algoritmo usato per la mappa logistica (vedremo in seguito che| x|=2 è una soglia di una certa importanza).
 

La mappa quadratica riguarda una varietà piuttosto ampia di casi.

 

Tutti casi in cui "il sistema sceglie" e la scelta non è inclusa né nella matematica che lo descrive né nelle sue condizioni iniziali: la sua traiettoria, a priori, non esiste.
Particolarmente rilevante la prima voce della tabella: la mappa quadratica costituisce la componente reale dell'insieme di Mandelbrot.

 

APPENDICE 

Il diagramma di biforcazione è stato ottenuto con Mathematica con lo stesso codice usato per la mappa logistica. Già visto con Mathematica, ritengo più utile questa volta includere il codice Python, che produce circa la stessa grafica - Mathematica gestisce la precisione numerica in modo nativo, trasparente, con aritmetica simbolica sottostante e controllo automatico degli errori di arrotondamento, mentre Python/numpy usa IEEE 754 standard, che è generalmente sufficiente ma non garantisce lo stesso livello di accuratezza numerica. Si potrebbe citare Star Wars (il primo, cioè il sesto): An elegant weapon, for a more civilized age. Mathematica è la spada laser, Python è il blaster (e il FORTRAN cosa da Knights Of The Old Republic - nella prossima puntata).

Comunque i punti salienti non stanno né nei linguaggi né nella sintassi, ma nella matematica.

Il punto di partenza (x₀) è stato preso per evitare successioni divergenti (e conseguente maximum overflow) e esponenziali negative troppo veloci (con minimum underflow).

Primi 10 elementi della successione per r=0 e x₀=-0,5

Se osservate l'andamento del modulo degli esponenti c'è un raddoppio a ogni passaggio. Per n=11 il valore sarebbe dell'ordine di 10^-600. Nello standard IEEE 754 (quello usato normalmente nei calcoli a 64 bit), il numero positivo più piccolo rappresentabile è circa 4.9x10-324, quindi oltre n=10 si genera un errore di minimum underflow - che Python/numpy si limita a trascurare passando oltre senza alcun messaggio. Partendo con x₀=0,2 si evitano sia min. underflow che max. overflow senza dover inserire un controllo per |x|>2.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

iterazioni = 1000
transiente = 200

r_values = np.arange(-2.0, 0.25, 0.001)

dati_r = []                                   
dati_x = []

for r in r_values:
    x = 0.2                             
    for i in range(1, iterazioni):
        x = r + x * x
            if i > transiente:
            dati_r.append(r)
            dati_x.append(x)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(dati_r, dati_x, ',k', markersize=0.1)
plt.xlabel('r')
plt.ylabel('x')
plt.tight_layout()
plt.show()

Il codice non ha bisogno di molti commenti: si inizializzano le liste di r e x, che vengono costruite con due cicli for nidificati. Il resto è sintassi di matplotlib.

LA SITUAZIONE - PHARMA, INDUSTRIA, LICENZIAMENTI

La situazione è grossomodo questa:

 

Cioè quella già vista nei tempi peggiori (attorno al patent cliff 2012, per dire). Ma sembrerebbe che il ritmo delle ristrutturazioni stia calando:

Secondo un'analisi dei dati sui licenziamenti di Fierce Biotech, nel primo trimestre di quest'anno un totale di 33 aziende biofarmaceutiche ha annunciato licenziamenti o chiusure. Pur rimanendo elevato, questo numero è indicativo di una tendenza graduale al rallentamento dei tagli occupazionali, individuata da Fierce già nel settembre scorso.

Questa traiettoria discendente si era già manifestata con un analogo numero di 33 ondate di licenziamenti nell'ultimo trimestre del 2025, circa la metà dei 64 e 62 annunci registrati rispettivamente nel secondo e terzo trimestre dell'anno scorso.
Il 2025 è stato certamente un anno difficile, come dimostra una distinta analisi di Fierce Pharma: le 17 aziende farmaceutiche con un fatturato annuo di almeno 20 miliardi di dollari hanno complessivamente ridotto la propria forza lavoro di oltre 22.000 dipendenti nel corso dell'anno, mentre si avvicina un patent cliff da 300 miliardi.
Per contestualizzare adeguatamente gli ultimi dati, è però opportuno confrontarli con i primi trimestri degli anni precedenti. I 33 annunci del primo trimestre 2026 sono appena la metà dei 63 del corrispondente periodo del 2025, e significativamente al di sotto delle 57 e 58 ondate registrate nei primi trimestri del 2023 e del 2024.
Per trovare un livello analogo bisogna risalire alle 30 ondate di licenziamenti del primo trimestre 2022.

Da principio si pensava che la crisi occupazionale riguardasse solo le small molecules, come di solito succede in queste fasi, anche se le small molecules continuano a costituire la maggioranza della approvazioni FDA:

https://www.nature.com/articles/d41573-026-00012-w

Per andare nel dettaglio, si parla di questo:

https://drughunter.com/articles/2025-novel-small-molecule-fda-drug-approvals

E invece no, non si trattava solo di small molecules. La crisi occupazionale si è allargata alla vasta area dei farmaci biologici, dagli ADC (coniugati farmaco-anticorpo) alle terapie cellulari. 

Come al solito il capitalismo finanziario fa le sue scelte e sono le scelte più sbagliate. Ma chi fa tali scelte, come sempre, sarà al riparo dalle loro conseguenze. Come in tanti altri campi la storia si ripete, con gli  stessi identici meccanismi.

Personalmente nei tanti anni di lavoro che ho all'attivo ho visto (poche) decisioni corporate razionali sempre sopravanzate dalle decisioni che una razionalità industriale non la avevano. Uno dei casi storici eclatanti fu quando Merck mise nella lista degli asset da essere svenduti Keytruda, prima che fosse approvato. Per tacere del management GSK che volle comprare Sirtris contro il parere di quelli che in GSK avevano effettuato la due diligence.

Ma del resto pensate a un tipico caso di media grande impresa occidentale non public, cioè non quotata in borsa. E' spesso proprietà di un fondo di investimento e quando le cose vanno bene il fondo incassa dividendi. Ma quando le cose vanno male, tipo quando il tuo mercato di sbocco di sempre è governato d'un tratto da un branco di inqualificabili? Scatta lo stop loss, solo che non si parla di azioni ma di asset industriali. Un asset industriale, se non lo sapete, è principalmente fatto di persone.

Io non so se e quando questo periodo di vacche non magre, ma ridotte a scheletri, potrà continuare. Quello che vedo è che la maggior parte degli attori econimici, al riguardo, sta agendo come se non ci sarà un domani, o una ripresa.

L'industria farmaceutica è una cosa assai differente da quella dipinta da tanti, tanti che non hanno alcuna cognizione dell'oggetto di cui parlano. Ormai da quasi 30 anni, cioè da quando è diventata uno dei giocattoli della finanza, è estremamente volatile. Eppure l'industria farmaceutica occidentale è quella che tra cGMP e linee guida ICH garantisce che i cittadini occidentali abbiano farmaci rispodenti a un certo standard qualitativo, un standard alto. I governi che rimangono spettatori dell'ennesimo tentativo di suicidio di questa industria avallano un peggioramento dei livelli qualitativi dei farmaci destinati ai propri cittadini, cioè lavorano contro la salute pubblica delle proprie nazioni. E in un contesto di questo genere tutti i discorsi europei sulla ricostruzione di un'autonomia farmaceutica appaiono esattamente quello che sono: parole vuote.

ORBITE DIVERGENTI - SANCHEZ ALL'OMS, SIMBOLI E SASSI

https://www.ilfattoquotidiano.it/2026/05/23/sanchez-oms-pandemia-egoismo-notizie/8395578/

 

C'è da dire che  l'orbita (in senso matematico) di Sanchez è da un po' che ha passato l'orizzonte di Lyapunov su tutti i temi cari al discorso dell'occidente moderno e in particolare dell'Europa (l'orizzonte di Lyapunov è il lasso di tempo oltre il quale la traittoria di un sistema nel suo spazio delle fasi diventa significativamente divergente rispetto a quella iniziale).

In un’epoca di emergenze ecologiche, geopolitiche e di crisi energetiche e crollo dei presidi sanitari pubblici, Oxfam denuncia che nel 2025 la ricchezza dei miliardari è cresciuta del 16% in termini reali, a un ritmo triplo rispetto alla media degli ultimi cinque anni. Si tratta di una concentrazione mai registrata prima. Tanto che ora una stretta cerchia di individui controlla un patrimonio maggiore di quello posseduto dalla metà povera della popolazione mondiale. E parliamo di povertà vera: il 25% delle persone a livello mondiale soffre di insicurezza alimentare e quasi la metà della popolazione globale vive in condizioni che possiamo solo definire “misere”. Non si tratta però solo di denunciare questa deriva sociale, perché tutto questo si traduce anche in una questione sanitaria. Sappiamo da tempo che la povertà e le disuguaglianze economiche e sociali si traducono direttamente in un aumentato rischio di malattie, minore accesso alle cure e maggiore mortalità.

Non resta che cogliere le parole del presidente del governo spagnolo come un’occasione per ripensare radicalmente le nostre priorità e sostenere un programma culturale e politico all’altezza del presente: lotta alle diseguaglianze sociali, rilancio poderoso della sanità pubblica e della medicina territoriale, no al riarmo e allo spreco di risorse economiche da utilizzare per il bene comune. Da qui, e da posizioni chiaramente pacifiste e di rispetto del diritto internazionale, dovrebbe ripartire un progetto collettivo che superi le complicità con il neoliberalismo di cui si sono macchiate anche le sinistre riformiste da più di trent’anni a questa parte.

Ma ci sono alcuni punti puramente materialistici da sottolineare. OMS dipende ormai per la maggior parte dal finanziamento di privati, quindi se la sede dell'intervento di Sanchez è formalmente appropriata (OMS è pur sempre un'agenzia ONU), there is more than meets the eye. Inoltre, come tutti quelli in sedi internazionali del genere, questi interventi sono più performativi che effettivi, e la performance è intesa prevalentemente per il pubblico domestico.

Da ultimo ci sono le implicazioni di quanto riportato da Oxfam: il 16% in più di ricchezza a miliardari non è un dato neutro e se qualcuno pensava che lo fosse credo che l'operato di Musk e Thiel sia più che sufficiente a smentirlo. Più 16% di ricchezza in quelle mani significa più potere a chi ha il manganello dalla parte del manico. Mai come in questo tempo è stato evidente, in occidente, che pochi decisori mantengono i propri vantaggi e quelli dei propri alleati lucrando sul male dei tanti. E' il leit motiv delle scelte geopolitiche occidentali degli ultimi anni: perseguire obiettivi che ben difficilmente possono essere quelli effettivamente dichiarati creando o alimentando disastri pagati poi da coloro che in teoria dovrebbero rappresentare.

Sono abbastanza sicuro che l'intervento di Sanchez nell'immediato cadrà nel nulla, tranne che in Spagna. Performativo o no, al discorso rimane una forte carica simbolica. Ma nel sistema mediatico occidentale è l'esposizione che da forza al simbolo. E neanche a farlo apposta, in Italia la notizia ha avuto copertura quasi nulla. 

Si potrebbe aggiungere che il sasso gettato sasso vale sempre: non per le onde che crea, ma per la testimonianza che offre. E chissà, forse prima o poi l'accumularsi dei sassi scagliati raggiungerà una massa critica. Ma..

...ma questa invece è stata ripresa ampiamente ripresa dalla stampa italiana e la mancanza di tempestive dichiarazioni ufficiali di Sanchez, nel gioco della propaganda, è una mossa perdente.

https://www.ilfattoquotidiano.it/2026/05/24/flotilla-scontri-bilbao-arresti-errori-notizie/8397165/

Questo falsifica la mia osservazione iniziale sulle orbite divergenti? Non direi. Se si parla di attualità depurare il segnale dal rumore è un esercizio oneroso. Per fare un esempio, su certe agende occidentali per ora non si vedono cambiamenti nella traiettoria divergente del governo spagnolo:

https://it.euronews.com/2026/03/16/la-spagna-manterra-la-spesa-per-la-difesa-al-2-del-pil-nel-2026-nonostante-richiesta-maggi

 

FEEDBACK, CAOS (NON RELOADED MA 2.0) - 4

https://drive.google.com/file/d/1_0_f8fKffhRWIlQas90j9XT_cU6PhNZr/view?usp=sharing

Una cosa è certa. I sistemi biologici, dalle comunità alle popolazioni fino ai processi fisiologici, sono governati da meccanismi non lineari. Questo significa che ci aspettiamo di vedere il caos con la stessa frequenza con cui vediamo cicli o stabilità. Il messaggio che ho sostenuto più di dieci anni fa è ancora più vero oggi: non solo nella ricerca biologica, ma anche nel mondo quotidiano della politica e dell'economia, tutti staremmo meglio se più persone si rendessero conto che i sistemi non lineari semplici non possiedono necessariamente proprietà dinamiche semplici.

A tredici anni di distanza dall'articolo su Nature in cui trattava le proprietà della mappa logistica, Robert May si sentiva in dovere di ripetere quell'appello, rimasto evidentemente inascoltato (ne ho già parlato qui).

Con l'ultima puntata si lasciano da parte chimica, ed equazioni per parlare di senso e in particolare di caos nell'attuale discorso pubblico scientifico/sulla scienza. La considerazione è semplice e veloce: la maggioranza dei processi che ci riguardano e che ci circondano sono determinati dalla nonlinearità, ma le dinamiche complesse caratteristiche dei sistemi non lineari anche semplici sono semplicemente inesistenti nella mappe disegnate dal discorso pubblico. 

Se la meccanica quantistica su quelle mappe rimane, in larga parte disorta, deformata all'inverosimile per renderla pop, il caos deterministico è invece assente da anni. Questi temi hanno avuto una visibilità mediatica crescente tra fine anni 70 e primi anni 90, culminando con il successo di Jurassic Park, il film. Per quanto centrato sulla prima rappresentazione realistica dei dinosauri, e niente del genere era stato mai visto prima, il tema dei sistemi non lineari complessi sopravviveva nella sceneggiatura. Nel romanzo di Crichton il rilievo dato al tema era ben diverso, con l'opera concepita come lo sviluppo di un frattale, ogni parte una iterazione.

Nel nuovo millennio questi temi invece sono rimasti oddities, con riemersioni effimere quando Netflix ha fatto uscire la serie "Il problema dei tre corpi". L'appello di Robert May sui sistemi a dinamiche non lineari è rimasto inascoltato anche quando il grande evento pandemico del nuovo millennio, COVID-19, avrebbe dovuto chiamarlo in causa a gran voce: i modelli epidemiologici compartimentali sono sistemi governati da feedback. E invece niente, si linearizzò quel che non poteva essere linearizzato ed "esponenziale" perse il suo significato matematico per diventare uno stato d'animo, un segno senza alcun referente nella realtà. Perché?

Perché quando si sostituisce il lavoro della matematica applicata con black boxes se ne perde il senso, diventa una cosa da specialisti che producono numeri, numeri che diventano i "dati" del discorso pubblico, per esempio. 

Perché "non possiamo sapere" è diverso e più radicale di "non so", ed entrambe le affermazioni sono incompatibili con la scienza-segno, ovvero il suo simulacro mediatico.

Perché nell'ultimo mezzo secolo la comunicazione della scienza è diventata incompatibile con questi temi. 

Perché la maggior parte degli esseri umani non ha idea del senso di un'equazione ma ha un forte bisogno di terra sotto ai piedi, di un pavimento ontologico che nella maggior parte dei casi è fatto di andamenti monotoni e traiettorie prestabilite: causa produce effetto, l'effetto è proporzionale alla causa, le cose vanno in una direzione precisa. Un sistema non lineare viola simultaneamente tutte e tre le assunzioni di quel pavimento. È molto più facile ignorare la reale natura delle dinamiche non lineari dichiarando incompetenza che fare i conti con le aporie della propria Weltanschauung.

Chi scrive parla per esperienza diretta del fenomeno. Caos e latinorum  documentava cosa succedeva nel 2019. Da una parte il latinorum caotico, dall'altra oves boves et pecora omnia, con i gonfaloni della Scienza, che arrivarono a sostenere che le teorie del caos fossero un marker antivaccinista. La dematematizzazione, come si notava allora, regnava sovrana negli opposti fronti, rivendicanti ognuno una propria scientificità. L'estrema miseria dei petit récits del nuovo millennio.

And I Tiresias, I have presuffered all... Se sulla stessa scala o in scala minore le cose si ripeteranno, la stessa narrativa sarà riciclata con le stesse linearizzazioni e le stesse amenità promosse da quella scienza-segno che dal dominio mediatico ha finito per colonizzare le istituzioni, nonché dai suoi ossessivi avversari. Il tutto con l'aggravante della simulazione della competenza, che gli LLM hanno reso facilmente accessibile a qualsiasi imbecille.
Se l'appello di Robert May è rimasto inascoltato per più di mezzo secolo un motivo c'è.

FEEDBACK, CAOS (NON RELOADED; MA 2.0) - 3

Nel 1972  Philip Warren Anderson, Nobel per la fisica 1977, pubblicò su Science un articolo che ebbe una vasta risonanza (e continua ad averla). Si intitolava More is different.

https://www.science.org/doi/10.1126/science.177.4047.393

 

Nell'articolo Anderson cristallizzava il concetto di proprietà emergenti, sostenendo che:

Nuovi livelli di complessità⇒nuove leggi emergenti

Anderson notava che conoscere le leggi fondamentali della fisica non basta per dedurre il comportamento dei sistemi complessi ed a ogni livello di complessità emergono proprietà nuove.
Criticava il riduzionismo forte, sostenendo che la biologia non è "solo chimica applicata", la chimica non è "solo fisica applicata" ed ogni disciplina sviluppa principi autonomi. Quindi "il tutto è più della somma delle parti".

Era in fin dei conti un riprendere Aristotele: τὸ ὅλον πλέον τί ἐστιν ἢ τὰ μόρια ("Il tutto è più delle sue parti", Metafisica).

Cosa c'entra tutto questo con feedback e caos? Proviamo a percorrere gli esempi finora citati: reazioni chimiche oscillanti, convezione atmosferica, dinamica delle popolazioni (a cui è da aggiungere la dinamica delle malattie infettive nelle popolazioni stesse) - tutti sistemi complessi. Nella sua estrema semplicità la mappa logistica esibisce biforcazioni e comportamento caotico per numeri relativamente grandi di individui, per fare un esempio (se ricordate prima di 200 interazioni nel calcolo non succede niente di rilevante). 
Facciamo un altro esempio. Uno dei problemi più classici del caos deterministico è il problema dei tre corpi. Che riguarda per l'appunto tre corpi e non due. Con Newton e Keplero un sistema di due corpi con i loro campi gravitazionali è fisso nel tempo, stabile, immutabile e ha una soluzione analitica. Solo quando subentra un terzo corpo saltano sia la stabilità che la soluzione analitica (con il quarto corpo e i successivi le cose diventano ancora più complicate). 
La stessa cosa succede con l'infinitamente piccolo, in situazioni al limite, per esempio con l'atomo di idrogeno di Rydberg, cioè un atomo di idrogeno che ha l'elettrone con un numero quantico principale incredibilmente alto, fino a 1000. Una situazione limite, in cui l'energia dell'elettrone è a un soffio da quella di ionizzazione (cioè, per la materia in bulk, dallo stato di plasma di idrogeno):  0.0000136 eV. E' come se l'elettrone fosse in bilico su un precipizio quantistico. Questo può succedere nelle nuvole di gas interstellare, in natura, sulla superficie terrestre solo in esperimenti di laboratorio. Ma l'alto numero quantico principale non basta, la condizione vicinissima al limite non è sufficiente. Solo se aggiungete un campo magnetico molto intenso le linee spettrali hanno un comportamento caotico. E' un altro problema a 3, nucleo, elettrone, forte campo magnetico.

Ma se la soglia per avere un comportamento caotico è bassa, la rilevanza di quel tipo comportamento a quel livello di complessità è rara e non solo. Per esempio le orbite dei pianeti del sistema solare le possiamo considerare piuttosto stabili nell'orizzonte temporale dell'umanità. Ma con la chimica, per esempio le cose possono andare diversamente.
Ho citato alcune reazioni oscillanti all'inizio di questa serie, ma una reazione chimica richiede una popolazione numerosa di molecole (e questo può rientrare nel discorso di Anderson). La termodinamica  classica (ΔG°, entropia) richiede materia in bulk, cioè grandissimi insiemi di unità discrete - con due molecole di H₂ e Cl₂ in un litro la domanda "la reazione è spontanea?" è operativamente mal posta. Anche se formalmente la temperatura delle due molecole (la loro energia cinetica) fosse tale da implicare come termodinamicamente favorita la formazione di due molecole di HCl, la probabilità di uno scontro con conseguente reazione sarebbe così bassa da rendere la velocità di tale reazione di fatto 0. E nel caso di una chimica di questo genere non si parla affatto di dinamiche non lineari complesse. Ma la possibilità di una reazione oscillante richiede la possibilità generica di una reazione, quindi la complessità e i grandi numeri di unità ne costituiscono la premessa.

Il caos come fenomeno emergente è una tesi che attraversa gli ultimi 50 anni, ma è stato trattato principalmente in campo matematico - algebra booleana (modello di Kauffman, 1969) e teoria dei giochi (John Holland, Emergence: From Chaos to Order 1998). Osservando tutte queste dinamiche i comportamenti nonlineari e caotici e i sistemi governati da feedback appaiono come una proprietà emergente di sistemi con un certo grado di complessità e di solito il grado è elevato. Forse per questo i tentativi teorici di Prigogine per introdurre non linearità e freccia del tempo per l'equazione di Schroedinger inerente una singola particella sono stati infruttiferi e non si sono dimostrati rilevanti per alcuna evidenza sperimentale a quel livello di (non)complessità: una unità isolata pare proprio che non basti per avere dinamiche non lineari complesse.

Ma i sistemi con un grado elevato di complessità e governati da feedback, dalla stessa vita fino a ritmo sonno-veglia (ritmi circadiani), battito cardiaco, pressione sistolica e diastolica, epidemie, meteo e clima sono quelli con cui abbiamo a che fare per la maggior parte della nostra esistenza...