(Riguardo gli isomorfismi https://ilchimicoscettico.blogspot.com/2019/07/isomorfismi-caos.html)
Cosa è un campo vettoriale? Uno spazio dove in ogni punto è definito un vettore.
Detta così sembra astrusa e astratta, ma ognuno di noi dentro a uno spazio vettoriale ci vive: vive dentro il campo gravitazionale della Terra. In ogni punto in cui ci spostiamo è definito un vettore che punta verso il centro del pianeta, che è la forza gravitazionale, per cui camminamo e cadiamo ma non galleggiamo in aria. Ma ad ogni punto è associata anche un'energia potenziale: se siete su un ponteggio a 30 metri dal suolo la vostra energia potenziale è maggiore di quella di chi sta per strada sotto di voi.
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Il campo gravitazionale del sistema Terra-Luna
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Come un campo elettrico, il campo gravitazionale è un campo conservativo. Questo significa che l'energia potenziale di un corpo (di una carica, nel campo gravitazionale) è propria della sua posizione rispetto al centro della massa che provoca il campo. Se solleviamo un corpo di 10 metri e poi lo riportiamo a terra la sua energia potenziale alla fine del percorso rimane quella di partenza. L'energia potenziale del corpo che si muove in un campo gravitazionale dipende unicamente dalla sua posizione. Cioè è indipendente dal percorso fatto dalla posizione iniziale a quella finale. Questo ha a che fare con (o è descrivibile da) le proprietà del differenziale dell'energia potenziale come la abbiamo definita: il differenziale dell'energia potenziale è un differenziale esatto.
Un tanto al chilo, diciamo che una forma differenziale è una funzione i cui argomenti sono differenziali (per i differenziali vedasi qua https://ilchimicoscettico.blogspot.com/2019/01/dinamiche-equazioni-differenziali.html). Per due variabili x e y la forma differenziale 𝝎 sarà 𝝎(dx, dy) (in realtà per una definizione corretta servirebbero molta matematica e molte precisazioni riguardo lo spazio in cui la forma differenziale è definita).
In generale, sia 𝝓 un percorso chiuso, regolare e/o a tratti definito in uno "spazio opportuno" e sia 𝝎 una forma differenziale definita nello stesso spazio. Se
allora la forma differenziale è detta esatta.
Perché la generalizzazione? Perché questa cosa accade in contesti molto diversi tra di loro, per esempio in termodinamica. In passato ho postato qualcosa al riguardo (https://ilchimicoscettico.blogspot.com/2022/01/forme-differenziali-e-termodinamica.html), ma è bene espandere il discorso. In quel video non vedete integrali su un percorso chiuso, ma si mostra come dU sia esatto con un altro metodo: si mostra che dU è chiuso.
Anche qua bene generalizzare. Prendiamo 𝝎 definita come sopra e come sopra ammettiamo che sia funzione dei differenziali delle due variabili, x e y
Se
Allora la forma differenziale è detta chiusa (è il metodo delle derivate in croce). Una trattazione abbastanza esaustiva la trovate qua. A noi ora basta dire che la chiusura non è condizione sufficiente per definire l'esattezza di una forma differenziale, ma se 𝝎 è chiusa e lo spazio in cui è definita è un insieme stellato (in cui ogni segmento che unisce un punto al centro dell'insieme è interamente contenuto nell'insieme) allora 𝝎 è anche esatta (e la cosa può essere dimostrata). Lo spazio in cui è definita una funzione di stato non ha "buchi", per così dire, e per questo quanto esposto nel video sta in piedi.
E' però più facile parlare di funzioni di stato usando i percorsi e in particolare i percorsi chiusi. Cominciamo con l'entalpia, H, che è una misura del contenuto di calore di un sistema. La legge di Hess ci dice che la differenza di entalpia tra reagenti e prodotti di reazione è la stessa qualsiasi siano i prodotti intermedi. Che è come dire che l'entalpia del sistema dipende dal suo stato iniziale e da quello finale indipendentemente dal percorso che si fa per arrivare dall'uno all'altro.
Quanto a percorsi chiusi prendiamo quello più noto, cioè il ciclo di Carnot (https://ilchimicoscettico.blogspot.com/2018/04/entropy-in-uk.html), e facciamolo guardando all'entropia del sistema (S).
Prendiamo A come punto di inizio del ciclo. Durante il ciclo è stato svolto lavoro, è stato scambiato calore (quindi l'entropia "dell'universo" è aumentata). Per la precisione dal grafico potete vedere che l'entropia del sistema non varia nei tratti adiabatici del percorso (in cui non viene scambiato calore) mentre varia nei tratti isotermi (in cui il sistema è scaldato o raffreddato). Ma alla fine del ciclo l'entropia del sistema è rimasta la stessa. Per il sistema l'integrale di dS lungo il percorso chiuso è uguale a 0.
Quindi poco da fare, le funzioni di stato della termodinamica sono isomorfe all'energia potenziale in un campo conservativo.
Queste a molti sembreranno banalità. Ad altri risulteranno roba poco comprensibile.Ma entrambi i gruppi dovrebbero interrogarsi su un punto: perché queste incomprensibili banalità non trovano cittadinanza nella "narrazione della scienza", AKA "comunicazione della scienza" o "divulgazione", mentre invece sono state scritte tonnellate di idiozie a proposito di S e secondo principio della termodinamica e altrettante se ne diranno e scriveranno? La risposta forse la troviamo in quella (disprezzata) filosofia che però storicamente fu alla radice del pensiero scientifico: il Novum Organum di Francis Bacon.
Gli
idoli e le false nozioni che sono penetrati nell’intelletto umano
fissandosi in profondità dentro di esso, non solo assediano le menti in
modo da rendere difficile l’accesso alla verità, ma addirittura (una
volta che quest’accesso sia dato e concesso) di nuovo risorgeranno e
saranno causa di molestia anche nella stessa instaurazione delle
scienze: a meno che gli uomini, preavvertiti, non si agguerriscano per
quanto è possibile contro di essi. Quattro sono i generi di idoli che
assediano la mente umana.
Gli
idoli della tribù sono fondati sulla stessa natura umana e sulla stessa
tribù o razza umana. Pertanto si asserisce falsamente che il senso è la
misura delle cose. Al contrario, tutte le percezioni, sia del senso sia
della mente, derivano dall’analogia con l’uomo, non dall’analogia con
l’universo.
L’intelletto umano è simile a uno specchio che riflette
irregolarmente i raggi delle cose, che mescola la sua propria natura a
quella delle cose, le deforma e le travisa.
Gli
idoli della spelonca sono idoli dell’uomo in quanto individuo. Ciascuno
infatti (oltre alle aberrazioni proprie della natura umana in generale)
ha una specie di propria caverna o spelonca che rifrange e deforma la
luce della natura, o a causa della natura propria e singolare di
ciascuno, o a causa dell’educazione e della conversazione con gli altri,
o della lettura di libri e dell’autorità di coloro che vengono onorati e
ammirati, o a causa della diversità delle impressioni a seconda che
siano accolte da un animo già condizionato e prevenuto o sgombro ed
equilibrato.
Cosicché lo spirito umano (come si presenta nei singoli
individui) è così vario e grandemente mutevole e quasi soggetto al caso.
Perciò giustamente affermò Eraclito che gli uomini cercano le scienze
nei loro piccoli mondi privati e non nel più grande mondo a tutti
comune.(https://ilchimicoscettico.blogspot.com/2023/09/lontano-dallequilibrio-da-2500-anni.html , NdCS)
Vi
sono poi gli idoli che derivano quasi da un contratto e dalle
reciproche relazioni del genere umano: li chiamiamo idoli del foro a
causa del commercio e del consorzio degli uomini. Gli uomini infatti si
associano per mezzo dei discorsi, ma i nomi vengono imposti secondo la
comprensione del volgo e tale errata e inopportuna imposizione ingombra
straordinariamente l’intelletto.
D’altra parte le definizioni o le
spiegazioni, delle quali gli uomini dotti si sono provveduti e con le
quali si sono protetti in certi casi, non sono in alcun modo servite di
rimedio. Anzi, le parole fanno violenza all’intelletto e confondono ogni
cosa e trascinano gli uomini a innumerevoli e vane controversie e
finzioni.
Vi
sono infine gli idoli che sono penetrati nell’animo degli uomini dai
vari sistemi filosofici e dalle errate leggi delle dimostrazioni. Li
chiamiamo idoli del teatro perché consideriamo tutte le filosofie che
sono state accolte e create come altrettante favole presentate sulla
scena.
E occorre dire che qualche secolo dopo il tutto continua a a reggere, anche se oggi si enfatizzano gli idola theatri, le favole presentate sulla scena.
Gli idola in Bacone sono la pars destruens. La pars construens è costituita dalle tabulae: registrazione di quando il fenomeno si verifica, di quando non si si verifica e del grado (quantità) con cui si verifica: le radici di un approccio quantitativo e analitico. L'approccio che fu usato da Boyle, che a Bacone doveva molto (\https://ilchimicoscettico.blogspot.com/2023/09/leggiti-kuhn-2x-by-starbuck.html).
Ed è esattamente questo approccio che da tempo si è perso completamente nel discorso "scientifico" pubblico. Un approccio del resto incompatibile con quella mitologia della "scienza" che, di fatto, è il centro costitutivo di una nuova pseudoreligione, veicolata da un catechismo da scuola elementare (https://www.sinistrainrete.info/societa/21518-andrea-zhok-credere-nella-scienza.html). E pare sia inutile sbracciarsi per dire che nessuna disciplina scientifica è fatta per dare un senso umano a qualcosa (https://ilchimicoscettico.blogspot.com/2023/10/il-senso-e-la-sfiducia.html). Ma del resto i protagonisti odierni degli idola theatri sono quelle/i definibili come neoistruiti: formati all'effimero senza alcuna cultura nella definizione classica del termine, perdipiù profondamente ostili al concetto di classicità. Piccolo problema: lo stesso concetto di pensiero scientifico è classico. Elaborabile, discutibile e tutto il resto, a quello che mi dicono da Popper a Lakatos. Ma resta il fatto che una formazione fondata sull'effimero è scritta sulla sabbia di un bagnasciuga: svanisce in un niente e svanendo in un niente è buona per ogni effimera stagione (leggasi la moda del momento). Ma resta un niente, anche se spesso è ampiamente glorificato - nell'oggi, domani sparirà e si predisporrà per un un nuovo e conveniente effimero.
So much for the useless philosophy.
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